Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση σειρών. Εναλλασσόμενες σειρές. Σημάδι Leibniz. Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση Απόλυτη σύγκλιση σειρών
Οι εναλλασσόμενες σειρές είναι σειρές των οποίων οι όροι είναι εναλλάξ θετικοί και αρνητικοί. . Τις περισσότερες φορές, εξετάζονται εναλλασσόμενες σειρές, στις οποίες οι όροι εναλλάσσονται με μία: κάθε θετική ακολουθείται από μια αρνητική, κάθε αρνητική ακολουθείται από μια θετική. Υπάρχουν όμως εναλλασσόμενες σειρές στις οποίες τα μέλη εναλλάσσονται μετά από δύο, τρεις κ.ο.κ.
Εξετάστε ένα παράδειγμα μιας εναλλασσόμενης σειράς, η αρχή της οποίας μοιάζει με αυτό:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
και αμέσως γενικοί κανόνεςεγγραφές εναλλασσόμενων σειρών.
Όπως σε κάθε σειρά, για να συνεχίσετε αυτή τη σειρά, πρέπει να καθορίσετε μια συνάρτηση που καθορίζει τον κοινό όρο της σειράς. Στην περίπτωσή μας αυτό n + 2 .
Και πώς να ορίσετε την εναλλαγή των ζωδίων των μελών της σειράς; Πολλαπλασιάζοντας τη συνάρτηση με μείον ένα σε κάποιο βαθμό. Σε τι βαθμό; Τονίζουμε ευθύς αμέσως ότι κανένα πτυχίο δεν παρέχει εναλλαγή σημείων στους όρους της σειράς.
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ο πρώτος όρος μιας εναλλασσόμενης σειράς να είναι θετικός, όπως συμβαίνει στο παραπάνω παράδειγμα. Τότε μείον ένα πρέπει να είναι στην εξουσία n− 1 . Ξεκινήστε να αντικαθιστάτε αριθμούς που ξεκινούν από το ένα σε αυτήν την έκφραση και θα πάρετε ως εκθέτης στο μείον ένα, μετά άρτιος και μετά περιττός αριθμός. Αυτή είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για την εναλλαγή των ζωδίων! Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα όταν n+ 1 . Αν θέλουμε ο πρώτος όρος της εναλλασσόμενης σειράς να είναι αρνητικός, τότε μπορούμε να καθορίσουμε αυτή τη σειρά πολλαπλασιάζοντας την κοινή συνάρτηση όρου επί ένα στην ισχύ n. Παίρνουμε έναν άρτιο αριθμό, μετά έναν περιττό αριθμό και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, η ήδη περιγραφείσα προϋπόθεση για την εναλλαγή των σημείων πληρούται.
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε τις παραπάνω εναλλασσόμενες σειρές σε γενική μορφή:
Για εναλλασσόμενα πρόσημα ενός όρου μιας σειράς, η ισχύς μείον ένα μπορεί να είναι το άθροισμα nκαι κάθε θετικό ή αρνητικό, άρτιο ή περιττό αριθμό. Το ίδιο ισχύει και για το 3 n , 5n, ... Δηλαδή, η εναλλαγή των σημείων των μελών της εναλλασσόμενης σειράς παρέχει το βαθμό στο μείον ένα με τη μορφή αθροίσματος nπολλαπλασιαζόμενο με οποιονδήποτε περιττό αριθμό και οποιονδήποτε αριθμό.
Ποιες μοίρες στο μείον ένα δεν παρέχουν εναλλαγή σημείων των μελών της σειράς; Αυτά που υπάρχουν στο έντυπο nπολλαπλασιαζόμενο με οποιονδήποτε ζυγό αριθμό, στον οποίο προστίθεται οποιοσδήποτε αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του μηδέν, ζυγού ή περιττού. Παραδείγματα δεικτών τέτοιων βαθμών: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Στην περίπτωση τέτοιων βαθμών, ανάλογα με τον αριθμό με τον οποίο προστίθεται το "en", πολλαπλασιαζόμενο με έναν άρτιο αριθμό, προκύπτουν είτε μόνο άρτιοι είτε μόνο περιττοί αριθμοί, κάτι που, όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει, κάνει δεν δίνουν εναλλαγή σημείων των μελών της σειράς .
Εναλλασσόμενη σειρά - μια ειδική περίπτωση εναλλασσόμενες σειρές . Οι εναλλασσόμενες σειρές είναι σειρές με μέλη αυθαίρετων σημάτων , δηλαδή αυτά που μπορεί να είναι θετικά και αρνητικά με οποιαδήποτε σειρά. Παράδειγμα εναλλασσόμενης σειράς:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Στη συνέχεια, εξετάστε τα κριτήρια σύγκλισης για εναλλασσόμενες και εναλλασσόμενες σειρές. Η υπό όρους σύγκλιση των εναλλασσόμενων σειρών μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τη δοκιμή Leibniz. Και για ένα ευρύτερο φάσμα σειρών - εναλλασσόμενων (συμπεριλαμβανομένων των εναλλασσόμενων) - υπάρχει σημάδι απόλυτης σύγκλισης.
Σύγκλιση εναλλασσόμενων σειρών. Σημάδι Leibniz
Για εναλλασσόμενες σειρές, λαμβάνει χώρα η ακόλουθη δοκιμή σύγκλισης - η δοκιμή Leibniz.
Θεώρημα (τεστ Leibniz).Η σειρά συγκλίνει και το άθροισμά της δεν υπερβαίνει τον πρώτο όρο, εάν πληρούνται ταυτόχρονα οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις:
- οι απόλυτες τιμές των μελών της εναλλασσόμενης σειράς μειώνονται: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n >...;
- όριο της κοινής διάρκειας του με απεριόριστη αύξηση nισούται με μηδέν.
Συνέπεια. Αν για το άθροισμα μιας εναλλασσόμενης σειράς πάρουμε το άθροισμά της nόρους, τότε το σφάλμα που επιτρέπεται σε αυτήν την περίπτωση δεν θα υπερβαίνει την απόλυτη τιμή του πρώτου απορριφθέντος όρου.
Παράδειγμα 1Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση. Αυτή είναι μια εναλλασσόμενη σειρά. Οι απόλυτες τιμές των μελών του μειώνονται:
και το όριο του κοινού όρου
ισούται με μηδέν:
Και οι δύο συνθήκες του τεστ Leibniz ικανοποιούνται, επομένως η σειρά συγκλίνει.
Παράδειγμα 2Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση. Αυτή είναι μια εναλλασσόμενη σειρά. Ας αποδείξουμε πρώτα ότι:
,
.
Αν Ν= 1, τότε για όλους n > Νανισότητα 12 n − 7 > n. Με τη σειρά του, για το καθένα n. Επομένως, δηλαδή, οι όροι της σειράς μειώνονται σε απόλυτη τιμή. Ας βρούμε το όριο του κοινού όρου της σειράς (χρησιμοποιώντας Ο κανόνας του L'Hopital):
Το όριο του κοινού όρου είναι μηδέν. Και οι δύο προϋποθέσεις του κριτηρίου Leibniz πληρούνται, επομένως η απάντηση στο ερώτημα της σύγκλισης είναι θετική.
Παράδειγμα 3Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση. Δίνεται μια εναλλασσόμενη σειρά. Ας μάθουμε αν ικανοποιείται η πρώτη συνθήκη του σημείου Leibniz, δηλαδή η απαίτηση . Για να πληρούται η απαίτηση, είναι απαραίτητο
Φροντίσαμε να ικανοποιηθεί η απαίτηση για όλους n > 0 . Το πρώτο τεστ Leibniz είναι ικανοποιημένο. Βρείτε το όριο του κοινού όρου της σειράς:
.
Το όριο δεν είναι μηδέν. Έτσι, η δεύτερη συνθήκη του τεστ Leibniz δεν ικανοποιείται, επομένως η σύγκλιση είναι εκτός συζήτησης.
Παράδειγμα 4Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση. Σε αυτή τη σειρά, δύο αρνητικούς όρους ακολουθούνται από δύο θετικούς. Αυτή η σειρά είναι επίσης εναλλασσόμενη. Ας μάθουμε εάν η πρώτη συνθήκη του τεστ Leibniz ικανοποιείται.
Η απαίτηση ικανοποιείται για όλους n > 1 . Το πρώτο τεστ Leibniz είναι ικανοποιημένο. Μάθετε αν το όριο του κοινού όρου είναι ίσο με μηδέν (χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L'Hopital):
.
Πήραμε μηδέν. Έτσι, και οι δύο προϋποθέσεις του τεστ Leibniz ικανοποιούνται. Η σύγκλιση υπάρχει.
Παράδειγμα 5Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση. Αυτή είναι μια εναλλασσόμενη σειρά. Ας μάθουμε εάν η πρώτη συνθήκη του τεστ Leibniz ικανοποιείται. Επειδή
,
Επειδή n ≥ 0 , μετά 3 n+ 2 > 0 . Με τη σειρά του, για το καθένα n, Να γιατί . Κατά συνέπεια, οι όροι της σειράς μειώνονται σε απόλυτη τιμή. Το πρώτο τεστ Leibniz είναι ικανοποιημένο. Ας μάθουμε αν το όριο του κοινού όρου της σειράς είναι ίσο με μηδέν (χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L'Hopital):
.
Έλαβε μηδενική τιμή. Και οι δύο συνθήκες του τεστ Leibniz ικανοποιούνται, επομένως αυτή η σειρά συγκλίνει.
Παράδειγμα 6Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση. Ας μάθουμε εάν η πρώτη συνθήκη του τεστ Leibniz ικανοποιείται για αυτήν την εναλλασσόμενη σειρά:
Οι όροι της σειράς μειώνονται σε απόλυτη τιμή. Το πρώτο τεστ Leibniz είναι ικανοποιημένο. Βρείτε αν το όριο του κοινού όρου είναι ίσο με μηδέν:
.
Το όριο του κοινού όρου δεν είναι ίσο με μηδέν. Η δεύτερη προϋπόθεση του σημείου Leibniz δεν πληρούται. Επομένως, αυτή η σειρά αποκλίνει.
Το σημάδι Leibniz είναι ένα σημάδι υπό όρους σύγκλιση της σειράς. Αυτό σημαίνει ότι τα συμπεράσματα σχετικά με τη σύγκλιση και την απόκλιση των εναλλασσόμενων σειρών που εξετάστηκαν παραπάνω μπορούν να συμπληρωθούν: αυτές οι σειρές συγκλίνουν (ή αποκλίνουν) υπό όρους.
Απόλυτη σύγκλιση εναλλασσόμενων σειρών
Αφήστε τη σειρά
- εναλλάξ. Εξετάστε μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών της:
Ορισμός. Μια σειρά ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα εάν μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων της συγκλίνει. Εάν μια εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει και μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών της αποκλίνει, τότε μια τέτοια εναλλασσόμενη σειρά ονομάζεται υπό όρους ή όχι απολύτως συγκλίνοντες .
Θεώρημα.Εάν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε συγκλίνει υπό όρους.
Παράδειγμα 7Προσδιορίστε εάν μια σειρά συγκλίνει
Λύση. Αντίστοιχη σε αυτή τη σειρά δίπλα στους θετικούς όρους είναι η σειρά This γενικευμένες αρμονικές σειρές, όπου , οπότε η σειρά αποκλίνει. Ας ελέγξουμε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του τεστ Leibniz.
Ας γράψουμε τις απόλυτες τιμές των πρώτων πέντε όρων της σειράς:
.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι όροι της σειράς μειώνονται σε απόλυτη τιμή. Το πρώτο τεστ Leibniz είναι ικανοποιημένο. Βρείτε αν το όριο του κοινού όρου είναι ίσο με μηδέν:
Έλαβε μηδενική τιμή. Και οι δύο προϋποθέσεις του τεστ Leibniz ικανοποιούνται. Δηλαδή με βάση τον Leibniz γίνεται σύγκλιση. Και η αντίστοιχη σειρά με θετικούς όρους αποκλίνει. Επομένως, αυτή η σειρά συγκλίνει υπό όρους.
Παράδειγμα 8Προσδιορίστε εάν μια σειρά συγκλίνει
απολύτως, υπό όρους ή αποκλίνουσες.
Λύση. Αντίστοιχη σε αυτή τη σειρά, δίπλα στους θετικούς όρους, είναι η σειρά Αυτή είναι μια γενικευμένη αρμονική σειρά, στην οποία, επομένως, η σειρά αποκλίνει. Ας ελέγξουμε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του τεστ Leibniz.
Μια εναλλασσόμενη σειρά είναι μια ειδική περίπτωση μιας εναλλασσόμενης σειράς.
Ορισμός 2.2.Αριθμητικές σειρές, των οποίων τα μέλη μετά από οποιονδήποτε αριθμό έχουν διαφορετικά πρόσημα, λέγονται εναλλασσόμενος .
Για εναλλασσόμενες σειρές ισχύει το εξής. γενικό επαρκές κριτήριο για τη σύγκλιση.
Θεώρημα 2.2.Ας δοθεί μια εναλλασσόμενη σειρά
Εάν μια σειρά που αποτελείται από ενότητες των όρων αυτής της σειράς συγκλίνει
τότε η ίδια η εναλλασσόμενη σειρά (2.2) συγκλίνει.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η αντίστροφη πρόταση δεν είναι αληθής: εάν η σειρά (2.2) συγκλίνει, τότε αυτό δεν σημαίνει ότι η σειρά (2.3) θα συγκλίνει.
Ορισμός 2.3. απολύτως συγκλίνουσα αν η σειρά που αποτελείται από τις ενότητες των μελών της συγκλίνει.
Η εναλλασσόμενη σειρά ονομάζεται υπό όρους συγκλίνουσα αν η ίδια συγκλίνει και η σειρά που αποτελείται από τους συντελεστές των όρων της αποκλίνει.
Μεταξύ των εναλλασσόμενων σειρών, ιδιαίτερη θέση κατέχουν οι απολύτως συγκλίνουσες σειρές. Τέτοιες σειρές έχουν μια σειρά από ιδιότητες, τις οποίες διατυπώνουμε χωρίς απόδειξη.
Το γινόμενο δύο απολύτως συγκλίνουσων σειρών με αθροίσματα είναι μια απολύτως συγκλίνουσα σειρά της οποίας το άθροισμα είναι .
Έτσι, οι απολύτως συγκλίνουσες σειρές αθροίζονται, αφαιρούνται, πολλαπλασιάζονται όπως οι συνηθισμένες σειρές. Τα αθροίσματα τέτοιων σειρών δεν εξαρτώνται από τη σειρά με την οποία γράφονται οι όροι.
Στην περίπτωση των υπό όρους συγκλίνουσων σειρών, οι αντίστοιχοι ισχυρισμοί (ιδιότητες) δεν ισχύουν γενικά.
Έτσι, με την αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς, είναι δυνατό να διασφαλιστεί ότι το άθροισμα της σειράς αλλάζει. Για παράδειγμα, μια σειρά 
συγκλίνει υπό όρους σύμφωνα με το τεστ Leibniz. Έστω το άθροισμα αυτής της σειράς. Ας ξαναγράψουμε τους όρους του έτσι ώστε μετά από έναν θετικό όρο να υπάρχουν δύο αρνητικοί. Παίρνουμε μια σειρά
Το ποσό μειώθηκε στο μισό!
Επιπλέον, με την αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια συγκλίνουσα σειρά με ένα προκαθορισμένο άθροισμα ή μια αποκλίνουσα σειρά (θεώρημα Riemann).
Επομένως, οι πράξεις σε σειρές δεν μπορούν να εκτελεστούν χωρίς να βεβαιωθούμε για την απόλυτη σύγκλισή τους. Για την καθιέρωση απόλυτης σύγκλισης, χρησιμοποιούνται όλα τα σημάδια σύγκλισης αριθμητικών σειρών με θετικούς όρους, αντικαθιστώντας τον κοινό όρο παντού από το μέτρο του.
Παράδειγμα 2.1. 
.
Λύση.Η αρχική σειρά είναι μεταβλητή προσήμου. Θεωρήστε μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων αυτής της σειράς, δηλ. σειρά 
. Αφού , τότε οι όροι της παρόμοιας σειράς δεν είναι μεγαλύτεροι από τους όρους της σειράς Dirichlet 
, που είναι γνωστό ότι συγκλίνουν. Επομένως, με βάση το τεστ σύγκρισης, αυτή η σειρά συγκλίνει απόλυτα. ,
Παράδειγμα 2.2.Ερευνήστε τη σειρά για σύγκλιση.
Λύση.
2) Θεωρήστε μια σειρά που αποτελείται από απόλυτα μέλη. Το εξετάζουμε για σύγκλιση χρησιμοποιώντας το τεστ d'Alembert
Σύμφωνα με το κριτήριο d'Alembert, μια σειρά που αποτελείται από απόλυτους όρους συγκλίνει. Ως εκ τούτου, η αρχική εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει απόλυτα. ,
Παράδειγμα 2.3.Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης 
.
Λύση. 1) Αυτή η σειρά είναι εναλλασσόμενη. Χρησιμοποιούμε το τεστ Leibniz. Ας ελέγξουμε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις.
Επομένως, η αρχική σειρά συγκλίνει.
2) Θεωρήστε μια σειρά που αποτελείται από απόλυτα μέλη. Ας το εξετάσουμε για σύγκλιση χρησιμοποιώντας το οριακό κριτήριο της σύγκρισης. Σκεφτείτε μια αρμονική σειρά που αποκλίνει.
Επομένως, και οι δύο σειρές συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο, δηλ. μια σειρά που αποτελείται από απόλυτους όρους επίσης αποκλίνει. Ως εκ τούτου, η αρχική εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει υπό όρους. ,
Ορισμός 1
Η σειρά αριθμών $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, της οποίας τα μέλη έχουν αυθαίρετα πρόσημα (+), (?), ονομάζεται εναλλασσόμενη σειρά.
Οι εναλλασσόμενες σειρές που εξετάστηκαν παραπάνω είναι μια ειδική περίπτωση της εναλλασσόμενης σειράς. είναι σαφές ότι δεν εναλλάσσονται όλες οι εναλλασσόμενες σειρές. Για παράδειγμα, η σειρά $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ εναλλασσόμενες αλλά όχι εναλλασσόμενες σειρές χαρακτήρων.
Σημειώστε ότι σε μια εναλλασσόμενη σειρά όρων, τόσο με το πρόσημο (+) όσο και με το πρόσημο (-), υπάρχουν άπειρα πολλοί. Εάν αυτό δεν ισχύει, για παράδειγμα, η σειρά περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό αρνητικών όρων, τότε μπορούν να απορριφθούν και μια σειρά που αποτελείται μόνο από θετικούς όρους μπορεί να ληφθεί υπόψη και το αντίστροφο.
Ορισμός 2
Αν η αριθμητική σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει και το άθροισμά της είναι S, και μερικήτο άθροισμα είναι ίσο με $S_n$ , τότε το $r_(n) =S-S_(n) $ ονομάζεται το υπόλοιπο της σειράς και το $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, π.χ. το υπόλοιπο της συγκλίνουσας σειράς τείνει στο 0.
Ορισμός 3
Μια σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα εάν η σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών της $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Ορισμός 4
Εάν η σειρά αριθμών $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει και η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\right| $, που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών του, αποκλίνει, τότε η αρχική σειρά ονομάζεται υπό όρους (μη απολύτως) συγκλίνουσα.
Θεώρημα 1 (επαρκές κριτήριο για τη σύγκλιση εναλλασσόμενων σειρών)
Η εναλλασσόμενη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει απολύτως εάν η σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών της$\sum \limits _(n=1) ^ συγκλίνει (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Σχόλιο
Το θεώρημα 1 δίνει μόνο μια επαρκή συνθήκη για τη σύγκλιση εναλλασσόμενων σειρών. Το θεώρημα της αντίστροφης δεν είναι αληθές, δηλ. εάν η εναλλασσόμενη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει, τότε δεν είναι απαραίτητο η σειρά που αποτελείται από ενότητες $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (μπορεί να είναι είτε συγκλίνον είτε αποκλίνον). Για παράδειγμα, η σειρά $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ συγκλίνει σύμφωνα με τη δοκιμή Leibniz και η σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων της είναι $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (αρμονική σειρά) αποκλίνει.
Ιδιοκτησία 1
Εάν η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει απόλυτα, τότε συγκλίνει απολύτως για οποιαδήποτε μετάθεση των μελών της και το άθροισμα της σειράς δεν εξαρτάται από τη σειρά των μελών. Εάν το $S"$ είναι το άθροισμα όλων των θετικών όρων του και το $S""$ είναι το άθροισμα όλων των απόλυτων τιμών των αρνητικών όρων του, τότε το άθροισμα της σειράς είναι $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ ισούται με $S=S"-S""$.
Ιδιοκτησία 2
Εάν η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει απόλυτα και το $C=(\rm const)$, τότε η σειρά $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) Το $ συγκλίνει επίσης απόλυτα.
Ιδιοκτησία 3
Εάν η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ και $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ συγκλίνουν απολύτως, τότε η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ επίσης συγκλίνουν απόλυτα.
Ιδιότητα 4 (θεώρημα Riemann)
Εάν η σειρά συγκλίνει υπό όρους, τότε ανεξάρτητα από τον αριθμό Α που πάρουμε, μπορούμε να αναδιατάξουμε τους όρους αυτής της σειράς έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ακριβώς ίσο με το Α. Επιπλέον, είναι δυνατή η αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από αυτό να αποκλίνει.
Παράδειγμα 1
Διερευνήστε τη σειρά για υπό όρους και απόλυτη σύγκλιση
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Λύση. Αυτή η σειρά είναι εναλλασσόμενη, τον κοινό όρο της οποίας συμβολίζουμε: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Παράδειγμα 2
Εξετάστε τη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ για απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση.
- Εξετάζουμε τη σειρά για απόλυτη σύγκλιση. Σημειώστε $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ και συνθέστε μια σειρά απόλυτες τιμές $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Παίρνουμε τη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ με θετικούς όρους, στους οποίους εφαρμόζουμε το κριτήριο ορίου για σύγκριση σειρών. Για σύγκριση με $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ θεωρήστε μια σειρά που έχει τη μορφή $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Αυτή η σειρά είναι μια σειρά Dirichlet με εκθέτη $p=\frac(1)(2)
- Στη συνέχεια, εξετάζουμε την αρχική σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ για υπό όρους σύγκλιση. Για να γίνει αυτό, ελέγχουμε την εκπλήρωση των προϋποθέσεων του τεστ Leibniz. Συνθήκη 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, όπου $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , δηλ. αυτή η σειρά εναλλάσσεται. Για να επαληθεύσουμε τη συνθήκη 2) στη μονοτονική μείωση των όρων της σειράς, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη μέθοδο. Θεωρήστε τη βοηθητική συνάρτηση $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ που ορίζεται για $x\in (|a_(n)|))). Επειτα
Ο ισχυρισμός της σύγκλισης στα ζώδια του Cauchy και του d'Alembert προέρχεται από μια σύγκριση με μια γεωμετρική πρόοδο (με παρονομαστές lim¯n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)Και α (\displaystyle \alpha)αντίστοιχα), σχετικά με την απόκλιση - από το γεγονός ότι ο κοινός όρος της σειράς δεν τείνει στο μηδέν.
Το τεστ Cauchy είναι ισχυρότερο από το τεστ d'Alembert με την έννοια ότι εάν το τεστ d'Alembert δείχνει σύγκλιση, τότε το τεστ Cauchy δείχνει σύγκλιση. Εάν το τεστ Cauchy δεν μας επιτρέπει να βγάλουμε συμπέρασμα σχετικά με τη σύγκλιση, τότε το τεστ d'Alembert δεν μας επιτρέπει επίσης να βγάλουμε συμπεράσματα. Υπάρχουν σειρές για τις οποίες το τεστ Cauchy δείχνει σύγκλιση, αλλά το τεστ d'Alembert δεν δείχνει σύγκλιση.
Ολοκληρωμένο σύμβολο Cauchy - Maclarin
Ας δοθεί μια σειρά ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)και λειτουργία f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )έτσι ώστε:
Μετά η σειρά ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))και αναπόσπαστο ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα, και ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=ky)^( )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Sign Raabe
Ας δοθεί μια σειρά ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)Και R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).
Το πρόσημο Raabe βασίζεται στη σύγκριση με τη γενικευμένη αρμονική σειρά
Ενέργειες σειράς
Παραδείγματα
Σκεφτείτε τη σειρά 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Για αυτή τη σειρά:
Έτσι, το τεστ Cauchy δείχνει σύγκλιση, ενώ το τεστ d'Alembert δεν επιτρέπει την εξαγωγή συμπερασμάτων.
Σκεφτείτε τη σειρά ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Έτσι, το τεστ Cauchy δείχνει απόκλιση, ενώ το τεστ d'Alembert δεν επιτρέπει την εξαγωγή συμπερασμάτων.
Σειρά ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))συγκλίνει στο α > 1 (\displaystyle \alpha >1)και αποκλίνει στο α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), ωστόσο:
Έτσι, τα ζώδια του Cauchy και του d'Alembert δεν μας επιτρέπουν να βγάλουμε συμπεράσματα.
Σειρά ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))συγκλίνει υπό όρους σύμφωνα με το κριτήριο Leibniz, αλλά όχι απόλυτα, αφού η αρμονική σειρά ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))αποκλίνει.
, είναι απεριόριστο στην αριστερή γειτονιά του σημείου b (\displaystyle b). Ακατάλληλο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)που ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσααν το ολοκλήρωμα συγκλίνει ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).
