Apsolutna i uvjetna konvergencija redova. Naizmjenični redovi. Leibnizov znak. Apsolutna i uvjetna konvergencija Apsolutna konvergencija nizova
Izmjenični nizovi su nizovi čiji su članovi naizmjenično pozitivni i negativni. . Najčešće se razmatraju izmjenični nizovi u kojima se termini izmjenjuju kroz jedan: nakon svakog pozitiva slijedi negativ, nakon svakog negativa slijedi pozitiv. Ali postoje izmjenični redovi u kojima se članovi izmjenjuju nakon dva, tri i tako dalje.
Razmotrite primjer izmjenične serije, čiji početak izgleda ovako:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
i odmah Opća pravila zapisi izmjeničnih redova.
Kao i u slučaju bilo kojeg niza, da biste nastavili ovaj niz, morate navesti funkciju koja određuje zajednički termin niza. U našem slučaju ovo n + 2 .
I kako postaviti izmjenu znakova članova serije? Množenje funkcije s minus jedan do nekog stupnja. U kojem stupnju? Odmah naglašavamo da nijedan stupanj ne osigurava izmjenu znakova u uvjetima serije.
Recimo da želimo da prvi član izmjeničnog niza bude pozitivan, kao što je slučaj u gornjem primjeru. Onda minus jedan mora biti na snazi n− 1 . Počnite zamjenjivati brojeve počevši od jedan u ovaj izraz i dobit ćete kao eksponent na minus jedan, zatim paran, pa neparan broj. To je nužan uvjet za izmjenu znakova! Dobivamo isti rezultat kada n+ 1 . Ako želimo da prvi član izmjeničnog niza bude negativan, tada možemo specificirati ovaj niz množenjem zajedničke funkcije člana s jedan na potenciju n. Dobivamo paran broj, zatim neparan broj i tako dalje. Kao što vidite, već opisani uvjet za izmjenu znakova je ispunjen.
Dakle, možemo napisati gornji izmjenični niz u općem obliku:
Za izmjenične predznake člana niza, stepen minus jedan može biti zbroj n i bilo koji pozitivan ili negativan, paran ili neparan broj. Isto se odnosi i na 3 n , 5n, ... To jest, izmjena predznaka članova izmjeničnog niza daje stupanj na minus jedan u obliku zbroja n pomnoženo bilo kojim neparnim brojem i bilo kojim brojem.
Koji stupnjevi na minus jedan ne daju izmjenu znakova članova niza? Oni koji su prisutni u obliku n pomnožen s bilo kojim parnim brojem, kojemu se dodaje bilo koji broj, uključujući nulu, par ili nepar. Primjeri pokazatelja takvih stupnjeva: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Kod takvih stupnjeva, ovisno o broju s kojim se zbraja "en", pomnoženom s parnim brojem, dobivaju se ili samo parni ili samo neparni brojevi, što, kako smo već saznali, ne daju izmjenu znakova članova niza .
Izmjenične serije - poseban slučaj naizmjenične serije . Izmjenični nizovi su nizovi s članovima proizvoljnih predznaka , odnosno one koje mogu biti pozitivne i negativne bilo kojim redoslijedom. Primjer izmjenične serije:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Zatim razmotrite kriterije konvergencije za izmjenične i izmjenične nizove. Uvjetna konvergencija izmjeničnih nizova može se utvrditi pomoću Leibnizova testa. A za širi raspon nizova - izmjeničnih (uključujući izmjenične) - postoji znak apsolutne konvergencije.
Konvergencija izmjeničnih nizova. Leibnizov znak
Za izmjenične nizove primjenjuje se sljedeći test konvergencije - Leibnizov test.
Teorem (Leibnizov test). Niz konvergira i njegov zbroj ne prelazi prvi član ako su sljedeća dva uvjeta istovremeno zadovoljena:
- apsolutne vrijednosti članova izmjeničnog niza opadaju: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ...;
- limit svog zajedničkog roka s neograničenim povećanjem n jednaka nuli.
Posljedica. Ako za zbroj izmjeničnog niza uzmemo zbroj njegovih n izraza, tada dopuštena pogreška u ovom slučaju neće premašiti apsolutnu vrijednost prvog odbačenog izraza.
Primjer 1 Istražite konvergenciju niza
Riješenje. Ovo je izmjenični red. Apsolutne vrijednosti njegovih članova smanjuju se:
i granica zajedničkog roka
jednako nuli:
Oba uvjeta Leibnizova testa su zadovoljena, pa niz konvergira.
Primjer 2 Istražite konvergenciju niza
Riješenje. Ovo je izmjenični red. Dokažimo prvo da:
,
.
Ako N= 1 , tada za sve n > N nejednakost 12 n − 7 > n. Zauzvrat, za svaki n. Dakle, članovi niza opadaju u apsolutnoj vrijednosti. Nađimo granicu zajedničkog člana niza (koristeći L'Hopitalovo pravilo):
Limit zajedničkog člana je nula. Oba uvjeta Leibnizova kriterija su ispunjena, pa je odgovor na pitanje konvergencije pozitivan.
Primjer 3 Istražite konvergenciju niza
Riješenje. Daje se izmjenična serija. Utvrdimo je li ispunjen prvi uvjet Leibnizovog znaka, odnosno zahtjev . Da bi zahtjev bio ispunjen potrebno je da
Pobrinuli smo se da zahtjev bude ispunjen za sve n > 0 . Prvi Leibnizov test je zadovoljen. Pronađite granicu zajedničkog člana niza:
.
Granica nije nula. Dakle, drugi uvjet Leibnizova testa nije zadovoljen, pa konvergencija ne dolazi u obzir.
Primjer 4 Istražite konvergenciju niza
Riješenje. U ovom nizu dva negativna termina slijede dva pozitivna. Ova serija je također izmjenična. Otkrijmo je li prvi uvjet Leibnizova testa zadovoljen.
Zahtjev je ispunjen za sve n > 1 . Prvi Leibnizov test je zadovoljen. Odredite je li granica zajedničkog člana jednaka nuli (pomoću L'Hopitalovog pravila):
.
Imamo nulu. Dakle, oba uvjeta Leibnizova testa su zadovoljena. Konvergencija je na mjestu.
Primjer 5 Istražite konvergenciju niza
Riješenje. Ovo je izmjenični red. Otkrijmo je li prvi uvjet Leibnizova testa zadovoljen. Jer
,
Jer n ≥ 0 , zatim 3 n+ 2 > 0 . Zauzvrat, za svaki n, Zato . Posljedično, članovi niza opadaju u apsolutnoj vrijednosti. Prvi Leibnizov test je zadovoljen. Utvrdimo je li granica zajedničkog člana niza jednaka nuli (koristeći L'Hopitalovo pravilo):
.
Primljena nulta vrijednost. Oba uvjeta Leibnizova testa su zadovoljena, pa ovaj niz konvergira.
Primjer 6 Istražite konvergenciju niza
Riješenje. Otkrijmo je li prvi uvjet Leibnizova testa zadovoljen za ovaj izmjenični niz:
Članovi niza opadaju u apsolutnoj vrijednosti. Prvi Leibnizov test je zadovoljen. Utvrdite je li granica zajedničkog člana jednaka nuli:
.
Limit zajedničkog člana nije jednak nuli. Drugi uvjet Leibnizovog znaka nije ispunjen. Stoga se ovaj niz razilazi.
Leibnizov znak je znak uvjetna konvergencija niza. To znači da se gore razmatrani zaključci o konvergenciji i divergenciji izmjeničnih nizova mogu nadopuniti: ti nizovi konvergiraju (ili divergiraju) uvjetno.
Apsolutna konvergencija izmjeničnih nizova
Neka red
- naizmjenično. Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova:
Definicija. Niz se naziva apsolutno konvergentnim ako niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira. Ako naizmjenični niz konvergira, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti svojih članova divergira, tada se takav naizmjenični niz naziva uvjetno ili ne apsolutno konvergentno .
Teorema. Ako niz konvergira apsolutno, onda konvergira uvjetno.
Primjer 7 Odredi konvergira li niz
Riješenje. Ovoj seriji uz pozitivne termine odgovara serija Ovo generalizirani harmonijski niz, gdje , pa se niz razilazi. Provjerimo jesu li ispunjeni uvjeti Leibnizovog testa.
Napišimo apsolutne vrijednosti prvih pet članova niza:
.
Kao što vidite, članovi niza opadaju u apsolutnoj vrijednosti. Prvi Leibnizov test je zadovoljen. Utvrdite je li granica zajedničkog člana jednaka nuli:
Primljena nulta vrijednost. Oba uvjeta Leibnizova testa su zadovoljena. Odnosno, na temelju Leibniza dolazi do konvergencije. I odgovarajući niz s pozitivnim članovima divergira. Stoga ovaj niz uvjetno konvergira.
Primjer 8 Odredi konvergira li niz
apsolutno, uvjetno ili divergentno.
Riješenje. Tom nizu, pored pozitivnih članova, odgovara niz. Ovo je generalizirani harmonijski niz, u kojem se, dakle, niz razilazi. Provjerimo jesu li ispunjeni uvjeti Leibnizova testa.
Izmjenična serija poseban je slučaj izmjenične serije.
Definicija 2.2. Numerički niz, čiji članovi iza bilo kojeg broja imaju različite predznake, naziva se naizmjenično .
Za izmjenične serije vrijedi sljedeće. opći dovoljan kriterij za konvergenciju.
Teorem 2.2. Neka je dan naizmjenični niz
Ako niz sastavljen od modula članova ovog niza konvergira
tada sam izmjenični niz (2.2) konvergira.
Treba primijetiti da nije istinita obrnuta tvrdnja: ako niz (2.2) konvergira, to ne znači da će i red (2.3) konvergirati.
Definicija 2.3. apsolutno konvergentan ako niz sastavljen od modula svojih članova konvergira.
Izmjenični niz se zove uvjetno konvergentan ako on sam konvergira i niz sastavljen od modula njegovih članova divergira.
Među izmjeničnim redovima posebno mjesto zauzimaju apsolutno konvergentni redovi. Takvi nizovi imaju niz svojstava, koja formuliramo bez dokaza.
Umnožak dvaju apsolutno konvergentnih nizova sa zbrojevima je apsolutno konvergentan niz čiji je zbroj .
Dakle, apsolutno konvergentni nizovi se zbrajaju, oduzimaju, množe kao i obični nizovi. Zbrojevi takvih serija ne ovise o redoslijedu kojim su članovi napisani.
U slučaju uvjetno konvergentnih nizova, odgovarajuće tvrdnje (svojstva) općenito ne vrijede.
Dakle, preuređivanjem članova uvjetno konvergentnog niza moguće je osigurati promjenu zbroja niza. Na primjer, redak 
uvjetno konvergira prema Leibnizovom testu. Neka zbroj ovog niza bude . Prepišimo njegove članove tako da nakon jednog pozitivnog člana slijede dva negativna. Dobivamo seriju
Iznos je prepolovljen!
Štoviše, preuređivanjem članova uvjetno konvergentnog niza, može se dobiti konvergentni niz s unaprijed određenim zbrojem ili divergentni niz (Riemannov teorem).
Stoga se operacije na serijama ne mogu izvoditi bez provjere njihove apsolutne konvergencije. Za utvrđivanje apsolutne konvergencije koriste se svi predznaci konvergencije numeričkog niza s pozitivnim članovima, zamjenjujući uobičajeni član posvuda njegovim modulom.
Primjer 2.1. 
.
Riješenje. Izvorni niz je predznak-varijabilan. Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova ovog niza, tj. red 
. Budući da , tada članovi sličnih serija nisu veći od članova Dirichletovih serija 
, za koje je poznato da konvergiraju. Stoga, na temelju testa usporedbe, ovaj niz apsolutno konvergira. ,
Primjer 2.2. Istražite niz radi konvergencije.
Riješenje.
2) Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih članova. Ispitujemo konvergenciju koristeći d'Alembertov test
Prema d'Alembertovom kriteriju niz sastavljen od apsolutnih članova konvergira. Dakle, originalni izmjenični niz apsolutno konvergira. ,
Primjer 2.3. Istražite redove konvergencije 
.
Riješenje. 1) Ovaj niz je naizmjeničan. Koristimo Leibnizov test. Provjerimo jesu li uvjeti ispunjeni.
Stoga izvorni niz konvergira.
2) Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih članova. Ispitajmo konvergenciju pomoću graničnog kriterija usporedbe. Razmotrimo harmonijski niz koji divergira.
Stoga se oba reda ponašaju na isti način, tj. niz sastavljen od apsolutnih članova također divergira. Dakle, izvorni naizmjenični niz uvjetno konvergira. ,
Definicija 1
Niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, čiji članovi imaju proizvoljne predznake (+), (?), naziva se izmjeničnim nizom.
Gore razmotrene izmjenične serije poseban su slučaj izmjenične serije; jasno je da nije svaka izmjenična serija izmjenična. Na primjer, niz $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ nizovi koji se izmjenjuju ali ne i znakovima.
Imajte na umu da u izmjeničnom nizu članova, i sa predznakom (+) i sa predznakom (-), ima beskonačno mnogo. Ako to nije točno, na primjer, niz sadrži konačan broj negativnih članova, tada se oni mogu odbaciti i razmatrati niz sastavljen samo od pozitivnih članova, i obrnuto.
Definicija 2
Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i njegov je zbroj S, i djelomično zbroj je jednak $S_n$, tada se $r_(n) =S-S_(n) $ naziva ostatkom niza, a $\mathop(\lim)\limits_(n\to \infty) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, tj. ostatak konvergentnog niza teži 0.
Definicija 3
Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ naziva se apsolutno konvergentnim ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\lijevo|u_(n) \desno| $.
Definicija 4
Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\desno| $, sastavljen od apsolutnih vrijednosti svojih članova, divergira, tada se izvorni niz naziva uvjetno (ne-apsolutno) konvergentnim.
Teorem 1 (dovoljan kriterij za konvergenciju izmjeničnog niza)
Izmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova$\sum \limits _(n=1) ^ konvergira (\infty )\lijevo|u_(n) \desno| $.
Komentar
Teorem 1 daje samo dovoljan uvjet za konvergenciju izmjeničnog niza. Obratni teorem nije istinit, tj. ako izmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira, tada nije nužno da je niz sastavljen od modula $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\lijevo|u_(n) \desno| $ (može biti konvergentan ili divergentan). Na primjer, niz $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergira prema Leibnizovom testu, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova je $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonijski niz) divergira.
Svojstvo 1
Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira, tada on apsolutno konvergira za bilo koju permutaciju svojih članova, a zbroj niza ne ovisi o redoslijedu članova. Ako je $S"$ zbroj svih njegovih pozitivnih članova, a $S""$ zbroj svih apsolutnih vrijednosti njegovih negativnih članova, tada je zbroj niza $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ je jednako $S=S"-S""$.
Svojstvo 2
Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira i $C=(\rm const)$, tada je niz $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ također apsolutno konvergira.
Svojstvo 3
Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ i $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ apsolutno konvergiraju, tada serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ također apsolutno konvergira.
Svojstvo 4 (Riemannov teorem)
Ako niz uvjetno konvergira, tada bez obzira koji broj A uzmemo, možemo preurediti članove ovog niza tako da njegov zbroj bude točno jednak A; štoviše, moguće je preurediti članove uvjetno konvergentnog niza na takav način da nakon toga on divergira.
Primjer 1
Istražite niz za uvjetnu i apsolutnu konvergenciju
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Riješenje. Ovaj niz je znakovno-izmjenični, čiji uobičajeni izraz označavamo: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Primjer 2
Ispitajte niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za apsolutnu i uvjetnu konvergenciju.
- Ispitujemo niz za apsolutnu konvergenciju. Označite $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ i sastavite niz apsolutnih vrijednosti $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Dobivamo niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ s pozitivnim članovima, na koje primjenjujemo granični kriterij za usporedbu serija. Za usporedbu s $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ razmotrite niz koji ima oblik $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ovaj niz je Dirichletov niz s eksponentom $p=\frac(1)(2)
- Zatim ispitujemo izvorni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za uvjetno konvergencija. Da bismo to učinili, provjeravamo ispunjenje uvjeta Leibnizova testa. Uvjet 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, gdje je $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. ovaj niz se izmjenjuje. Za provjeru uvjeta 2) o monotonom opadanju članova niza koristimo se sljedećom metodom. Razmotrite pomoćnu funkciju $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definiranu za $x\in (|a_(n)|))). Zatim
Tvrdnja o konvergenciji u znakovima Cauchyja i d'Alemberta izvedena je iz usporedbe s geometrijskom progresijom (s nazivnicima lim¯n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\lijevo|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\desno|) I α (\displaystyle \alpha ) odnosno), o divergenciji - iz činjenice da zajednički član niza ne teži nuli.
Cauchyjev test je jači od d'Alembertovog testa u smislu da ako d'Alembertov test ukazuje na konvergenciju, onda Cauchyjev test ukazuje na konvergenciju; ako nam Cauchyjev test ne dopušta da izvučemo zaključak o konvergenciji, onda nam d'Alembertov test također ne dopušta da izvučemo bilo kakve zaključke; postoje nizovi za koje Cauchyjev test pokazuje konvergenciju, ali d'Alembertov test ne pokazuje konvergenciju.
Integralni znak Cauchy - Maclarin
Neka se da serija ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) i funkcija f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) tako da:
Zatim serija ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) i integralni ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) konvergirati ili divergirati u isto vrijeme, i ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Znak Raabe
Neka se da serija ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) I R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\lijevo((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\desno)).
Raabeov znak temelji se na usporedbi s generaliziranim harmonijskim nizom
Radnje redaka
Primjeri
Razmotrite seriju 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Za ovaj redak:
Tako Cauchyjev test ukazuje na konvergenciju, dok d'Alembertov test ne dopušta izvođenje nikakvih zaključaka.
Razmotrite seriju ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Tako Cauchyjev test ukazuje na divergenciju, dok d'Alembertov test ne dopušta izvođenje nikakvih zaključaka.
Red ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) konvergira u α > 1 (\displaystyle \alpha >1) i razilazi se na α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), međutim:
Dakle, znakovi Cauchyja i d'Alemberta ne dopuštaju nam da izvučemo bilo kakve zaključke.
Red ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) konvergira uvjetno prema Leibnizovom kriteriju, ali ne apsolutno, jer harmonijski niz ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) razilazi se.
, neograničena je u lijevom susjedstvu točke b (\displaystyle b). Nepravi integral druge vrste ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) nazvao apsolutno konvergentan ako integral konvergira ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).
