Hur man hittar tyngdpunkten för en cirkel med ett hål. Metoder för att bestämma koordinaterna för tyngdpunkten
Baserat på de allmänna formlerna som erhållits ovan är det möjligt att ange specifika metoder för att bestämma koordinaterna för kropparnas tyngdpunkter.
1. Symmetri. Om en homogen kropp har ett plan, axel eller symmetricentrum (fig. 7), så ligger dess tyngdpunkt i respektive symmetriplan, symmetriaxel eller i symmetricentrum.
Fig. 7
2. Splittring. Kroppen är uppdelad i ett ändligt antal delar (fig. 8), för var och en av vilka tyngdpunktens läge och området är känt.
Fig. 8
3.Metod för negativa områden. Ett specialfall av partitioneringsmetoden (fig. 9). Det gäller kroppar med utskärningar om kroppens tyngdpunkter utan utskärningen och utskärningen är kända. En kropp i form av en utskuren platta representeras av en kombination av en solid platta (utan utskärning) med en area S 1 och arean av den utskurna delen S 2 .
Fig. 9
4.grupperingsmetod. Det är ett bra komplement till de två sista metoderna. Efter att ha brutit upp figuren i dess beståndsdelar kan det vara bekvämt att kombinera några av dem igen, för att sedan förenkla lösningen genom att ta hänsyn till denna grupps symmetri.
Tyngdpunkter för vissa homogena kroppar.
1) Tyngdpunkten för en cirkelbåge. Tänk på bågen AB radie R med mittvinkel. På grund av symmetri ligger tyngdpunkten för denna båge på axeln Oxe(Fig. 10).
Fig. 10
Låt oss hitta koordinaten med hjälp av formeln. För att göra detta, välj på bågen AB element MM' längd , vars position bestäms av vinkeln . Samordna X element MM' kommer . Ersätter dessa värden X och d l och med tanke på att integralen måste sträckas ut över hela bågens längd får vi:
Var L- båglängd AB, lika med .
Härifrån finner vi slutligen att cirkelbågens tyngdpunkt ligger på dess symmetriaxel på avstånd från centrum HANDLA OM lika med
där vinkeln mäts i radianer.
2) Tyngdpunkten för området i en triangel. Betrakta en triangel som ligger i planet Oxy, vars vertexkoordinater är kända: Ai(x i,y i), (i= 1,2,3). Bryt triangeln i smala remsor parallellt med sidan A 1 A 2 kommer vi fram till att triangelns tyngdpunkt måste tillhöra medianen A 3 M 3 (fig. 11).
Fig. 11
Bryt triangeln i remsor parallellt med sidan A 2 A 3 , kan du se till att den måste ligga på medianen A 1 M 1 . Således, tyngdpunkten för en triangel ligger i skärningspunkten för dess medianer, som, som du vet, skiljer den tredje delen från varje median, räknat från motsvarande sida.
I synnerhet för medianen A 1 M 1 får vi, givet att punktens koordinater M 1 är det aritmetiska medelvärdet av vertexkoordinaterna A 2 och A 3:
x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.
Således är koordinaterna för triangelns tyngdpunkt det aritmetiska medelvärdet av koordinaterna för dess hörn:
x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.
3) Tyngdpunkten för området för den cirkulära sektorn. Betrakta en sektor av en cirkel med radie R med en central vinkel på 2α, placerad symmetriskt kring axeln Oxe(Fig. 12).
Det är uppenbart y c = 0, och avståndet från mitten av cirkeln från vilken denna sektor skärs till dess tyngdpunkt kan bestämmas med formeln:
Fig. 12
Det enklaste sättet att beräkna denna integral är genom att dela upp integrationsdomänen i elementära sektorer med en vinkel dφ. Upp till infinitesimals av första ordningen kan en sådan sektor ersättas av en triangel med en bas lika med R× dφ och höjd R. Arean av en sådan triangel dF=(1/2)R 2 ∙dφ, och dess tyngdpunkt är på ett avstånd av 2/3 R från toppen, så i (5) lägger vi x = (2/3)R∙cosφ. Ersätter i (5) F= α R 2, vi får:
Med den sista formeln beräknar vi i synnerhet avståndet till tyngdpunkten halvcirkel.
Genom att ersätta (2) α = π/2 får vi: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .
Exempel 1 Låt oss bestämma tyngdpunkten för den homogena kroppen som visas i fig. 13.
Fig. 13
Kroppen är homogen och består av två delar som har en symmetrisk form. Koordinaterna för deras tyngdpunkter:
Deras volymer:
Därför koordinaterna för kroppens tyngdpunkt
Exempel 2 Hitta tyngdpunkten för en platta böjd i rät vinkel. Mått - på ritningen (fig. 14).
Fig. 14
Tyngdpunktskoordinater:
Rutor:
|
Fig. 15
I det här problemet är det bekvämare att dela kroppen i två delar: en stor fyrkant och ett fyrkantigt hål. Endast hålets yta bör betraktas som negativ. Sedan koordinaterna för arkets tyngdpunkt med hålet:
samordna 
eftersom kroppen har en symmetriaxel (diagonal).
Exempel 4 Trådfäste (Fig. 16) består av tre sektioner av samma längd l.
Fig. 16
Koordinaterna för sektionernas tyngdpunkter:
Därför är koordinaterna för tyngdpunkten för hela fästet:
Exempel 5 Bestäm läget för fackverkets tyngdpunkt, vars alla stavar har samma linjära densitet (Fig. 17).
Kom ihåg att i fysiken är densiteten för en kropp ρ och dess specifika vikt g relaterade till förhållandet: γ= ρ g, Var g- tyngdacceleration. För att hitta massan av en sådan homogen kropp måste du multiplicera densiteten med dess volym.
Fig. 17
Termen "linjär" eller "linjär" densitet betyder att för att bestämma massan av fackverksstaven måste den linjära densiteten multipliceras med längden på denna stav.
För att lösa problemet kan du använda partitioneringsmetoden. Genom att representera en given fackverk som summan av 6 individuella stavar får vi:
Var L i längd i-th spö på gården, och x i, y iär koordinaterna för dess tyngdpunkt.
Lösningen på detta problem kan förenklas genom att gruppera de sista 5 trussstavarna. Det är lätt att se att de bildar en figur med ett symmetricentrum placerat i mitten av den fjärde staven, där tyngdpunkten för denna grupp av stavar finns.
Således kan en given fackverk representeras av en kombination av endast två grupper av stavar.
Den första gruppen består av den första spöet, för den L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Den andra gruppen av stavar består av fem stavar, för vilka L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.
Koordinaterna för gårdens tyngdpunkt hittas av formeln:
x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;
y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.
Observera att mitten MED ligger på linjen som ansluter MED 1 och MED 2 och delar segmentet MED 1 MED 2 angående: MED 1 MED/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.
Frågor för självrannsakan
Vad är centrum för parallella krafter?
Hur bestäms koordinaterna för mitten av parallella krafter?
Hur bestämmer man mitten av parallella krafter, vars resultant är noll?
Vad är egenskapen för centrum av parallella krafter?
Vilka formler används för att beräkna koordinaterna för mitten av parallella krafter?
Vad är en kropps tyngdpunkt?
Varför kan jordens attraktionskrafter, som verkar på en punkt på kroppen, ses som ett system av parallella krafter?
Skriv ner formeln för att bestämma tyngdpunktsläget för inhomogena och homogena kroppar, formeln för att bestämma tyngdpunktsläget för plana sektioner?
Skriv ner formeln för att bestämma tyngdpunktens position för enkla geometriska former: en rektangel, en triangel, en trapets och en halv cirkel?
Vad kallas områdets statiska moment?
Ge ett exempel på en kropp vars tyngdpunkt ligger utanför kroppen.
Hur används symmetriegenskaper för att bestämma kroppars tyngdpunkter?
Vad är kärnan i metoden för negativa vikter?
Var ligger cirkelbågens tyngdpunkt?
Vilken grafisk konstruktion kan användas för att hitta en triangels tyngdpunkt?
Skriv ner formeln som bestämmer tyngdpunkten för en cirkulär sektor.
Använd formler som bestämmer tyngdpunkterna för en triangel och en cirkulär sektor, härled en liknande formel för ett cirkulärt segment.
Vilka formler används för att beräkna koordinaterna för tyngdpunkterna för homogena kroppar, plana figurer och linjer?
Vad kallas det statiska momentet för arean av en platt figur i förhållande till axeln, hur beräknas det och vilken dimension har det?
Hur bestämmer man läget för områdets tyngdpunkt, om läget för tyngdpunkterna för dess enskilda delar är känt?
Vilka hjälpsatser används för att bestämma tyngdpunktens position?
Rita ett diagram över systemet och markera tyngdpunkten på det. Om den hittade tyngdpunkten är utanför objektsystemet fick du fel svar. Du kan ha mätt avstånd från olika referenspunkter. Upprepa mätningar.
- Till exempel, om barn sitter på en gunga, kommer tyngdpunkten att vara någonstans mellan barnen och inte till höger eller vänster om gungan. Tyngdpunkten kommer heller aldrig att sammanfalla med punkten där barnet sitter.
- Dessa resonemang är korrekta i tvådimensionellt rum. Rita en fyrkant som passar alla objekt i systemet. Tyngdpunkten måste vara inuti denna fyrkant.
Kontrollera matematiken om du får ett litet resultat. Om ursprunget är i ena änden av systemet, placerar det lilla resultatet tyngdpunkten nära slutet av systemet. Detta kan vara det korrekta svaret, men i de allra flesta fall indikerar ett sådant resultat ett fel. När du beräknade momenten, multiplicerade du motsvarande vikter och avstånd? Om du istället för att multiplicera lägger till vikter och avstånd får du ett mycket mindre resultat.
Rätta till felet om du hittar flera tyngdpunkter. Varje system har bara en tyngdpunkt. Om du hittade flera tyngdpunkter har du troligen inte lagt ihop alla momenten. Tyngdpunkten är lika med förhållandet mellan det "totala" momentet och den "totala" vikten. Du behöver inte dela "varje" ögonblick med "varje" vikt: det är så du hittar positionen för varje föremål.
Kontrollera referenspunkten om svaret skiljer sig med något heltalsvärde. I vårt exempel är svaret 3,4 m. Låt oss säga att du fick ett svar på 0,4 m eller 1,4 m, eller något annat tal som slutar på ".4". Detta beror på att du inte valde den vänstra änden av brädet som referenspunkt, utan en punkt som är placerad till höger med ett heltal. Faktum är att ditt svar är korrekt, oavsett vilken referenspunkt du väljer! Kom bara ihåg: referenspunkten är alltid vid position x = 0. Här är ett exempel:
- I vårt exempel var referenspunkten vid den vänstra änden av brädan, och vi fann att tyngdpunkten är 3,4 m från denna referenspunkt.
- Om du väljer en punkt som referenspunkt som ligger på ett avstånd av 1 m till höger om tavlans vänstra ände får du ett svar på 2,4 m. Det vill säga att tyngdpunkten ligger på ett avstånd från 2,4 m från den nya referenspunkten, som i sin tur ligger på ett avstånd av 1 m från brädans vänstra ände. Tyngdpunkten är alltså på ett avstånd av 2,4 + 1 = 3,4 m från brädans vänstra ände. Fick ett gammalt svar!
- Obs: När du mäter avstånd, kom ihåg att avstånden till "vänster" referenspunkt är negativa och till "höger" referenspunkt är positiva.
Mät avstånd i raka linjer. Anta att det finns två barn på en gunga, men det ena barnet är mycket längre än det andra, eller så hänger ett barn under brädan istället för att sitta på den. Ignorera denna skillnad och mät avstånden längs den raka linjen på brädan. Att mäta avstånd i vinklar kommer att leda till nära, men inte riktigt exakta resultat.
- I fallet med svängbrädeproblemet, kom ihåg att tyngdpunkten är mellan brädans högra och vänstra ände. Senare får du lära dig hur du beräknar tyngdpunkten för mer komplexa tvådimensionella system.
Oftast används följande metoder för att hitta en kropps eller figurs tyngdpunkt:
· symmetrimetod;
· partitioneringsmetod;
· negativ massa metod.
Tänk på de tekniker som används i var och en av dessa metoder.
Symmetrimetod
Föreställ dig en homogen kropp som har ett symmetriplan. Vi väljer ett koordinatsystem så att axlarna x Och z ligga i symmetriplanet (se figur 1).
I detta fall, varje elementarpartikel genom gravitation G i med abskiss yi = +a motsvarar samma elementarpartikel med abskissan y i = -a , Sedan:
y C = Σ(Gi x i)/ΣGi = 0.
Därav slutsatsen: om en homogen kropp har ett symmetriplan, så ligger kroppens tyngdpunkt i detta plan.
Följande påståenden kan bevisas på liknande sätt:
Om en homogen kropp har en symmetriaxel, så ligger kroppens tyngdpunkt på denna axel;
· Om en homogen kropp har två symmetriaxlar, är kroppens tyngdpunkt vid skärningspunkten;
· Tyngdpunkten för en homogen rotationskropp ligger på rotationsaxeln.
Partitionsmetod
Denna metod består i att kroppen delas in i det minsta antalet delar, vars tyngdkrafter och tyngdpunkternas position är kända, varefter de tidigare givna formlerna används för att bestämma den totala tyngdpunkten av kroppen.
Låt oss säga att vi krossade kroppen med gravitationen G
i tre delar G"
, G""
, G"""
, abskiss av dessa delars tyngdpunkter x" C , x"" C , x""" C
känd.
Formeln för att bestämma abskissan för hela kroppens tyngdpunkt:
x C = Σ(Gi xi)/ΣGi.
Låt oss skriva om det i följande form:
x C ΣG i = Σ(G i x i) eller Gx C = Σ(G i x i) .
Vi skriver den sista jämlikheten för var och en av de tre delarna av kroppen separat:
G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G"" i x""i), G"""x""" C = Σ(G""" x""" i).
Lägger vi till vänster och höger del av dessa tre likheter får vi:
G"x" C + G""x"" C + G"""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x""i) + Σ(G""" i x""" i) = Σ(G i x i).
Men den högra sidan av den sista jämställdheten är produkten Gx C , därför att
Gx C = Σ(G i x i),
Därav, x C = (G"x" C + G""x"" C + G"""x""" C)/G
, vilket skulle bevisas.
På liknande sätt bestäms koordinaterna för tyngdpunkten på koordinataxlarna y
Och z
:
y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G
,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G"""z""" C)/G
.
De resulterande formlerna liknar formlerna för att bestämma koordinaterna för tyngdpunkten, härledda ovan. Därför, i de ursprungliga formlerna, är det möjligt att inte ersätta gravitationskrafterna hos elementarpartiklar G i och tyngdkraften hos de sista delarna; under koordinater x i ,y i ,z i förstå koordinaterna för tyngdpunkterna för de delar som kroppen är indelad i.
Negativ massa metod
Denna metod består i det faktum att en kropp med fria håligheter anses vara solid, och massan av fria håligheter anses vara negativ. Formerna för formler för att bestämma koordinaterna för kroppens tyngdpunkt ändras inte.
Sålunda, när man bestämmer tyngdpunkten för en kropp med fria hålrum, bör uppdelningsmetoden användas, men massan av hålrum bör betraktas som negativ.
Praktiska metoder för att bestämma kroppars tyngdpunkt
I praktiken, för att bestämma tyngdpunkten för platta kroppar av komplex form, används det ofta upphängningsmetod
, som består i att en platt kropp någon gång hänger upp på en tråd. En linje dras längs tråden och kroppen hängs upp från en annan punkt som inte är på den resulterande linjen.
Dra sedan igen en linje längs tråden.
Skärningspunkten för de två linjerna kommer att vara den platta kroppens tyngdpunkt.
Ett annat sätt att bestämma tyngdpunkten, som används i praktiken, kallas vägningsmetod
. Denna metod används ofta för att bestämma tyngdpunkten för stora maskiner och produkter - bilar, flygplan, hjultraktorer etc., som har en komplex tredimensionell form och punktstöd på marken.
Metoden består i att tillämpa jämviktsförhållandena, baserat på det faktum att summan av momenten av alla krafter som verkar på en stationär kropp är lika med noll.
I praktiken görs detta genom att väga ett av maskinens stöd (bak- eller framhjulen är monterade på vågen), medan vågens avläsningar i själva verket är stödets reaktion, vilket tas med i beräkningen vid sammanställning av jämviktsekvationen relativt det andra stödjepunkten (belägen utanför skalorna).
Baserat på kroppens kända massa (respektive vikt), indikeringen av vågen vid en av stödpunkterna och avståndet mellan stödpunkterna, kan man bestämma avståndet från en av stödpunkterna till det plan där tyngdpunkten ligger.
För att på detta sätt hitta linjen (axeln) på vilken maskinens tyngdpunkt är belägen, är det nödvändigt att utföra två vägningar enligt principen som beskrivs ovan för upphängningsmetoden (se fig. 1a).
Fråga 12
kroppens tröghetsmoment.
TRÖGGSMOMENT- ett värde som kännetecknar fördelningen av massor i kroppen och tillsammans med massan är ett mått på kroppens tröghet när den inte kommer fram. rörelse. I mekanik, M. och. axiell och centrifugal. Axial M. och. kropp i förhållande till z-axeln kallas. kvantitet definierad av jämlikheten
Var m jag- massor av kroppspunkter, Hej- deras avstånd från z-axeln, r - massdensitet, V- kroppens volym. Värde Izär ett mått på en kropps tröghet under dess rotation runt en axel (se Rotationsrörelse ) . Axial M. och. kan också uttryckas i termer av en linjär kvantitet r z , kallad. gyrationsradie kring z-axeln, enligt f-le Iz = M r2z, där M- kroppsmassa. Dimension M. och.- L 2 M; måttenheter - kg. m 2.
Centrifugal M. och. i förhållande till det rektangulära systemet. yxor x, y, z ritat vid punkten HANDLA OM, ringde kvantiteter definierade av jämlikheterna
eller motsvarande volymintegraler. Dessa värden är egenskaperna hos dynamiken. obalans i kroppen. Till exempel när kroppen roterar runt z-axeln från värdena jag xz Och jag yz tryckkrafterna på lagren, i vilka axeln är fixerad, beror.
M. i. relativt parallella axlar z och z" är relaterade genom relationen (Huygens sats)
där z" är axeln som går genom kroppens masscentrum, d- avstånd mellan axlarna.
M. i. med avseende på alla passerar genom ursprunget HANDLA OM yxor Ol med riktning cosinus a, b, g hittas enligt formeln
Att veta sex kvantiteter I x, I y, I z, I xy, I yz, I zx, kan du sekventiellt, med hjälp av f-ly (4) och (3), beräkna hela uppsättningen av M. och. kroppar om vilka axlar som helst. Dessa sex kvantiteter bestämmer den så kallade. kroppströghetstensor. Genom varje punkt på kroppen kan 3 sådana ömsesidigt vinkelräta axlar dras, kallade. kap. tröghetsaxlar, för vilka Ixy = jag yz= Izx= 0. Sedan M. och. kroppar med avseende på vilken axel som helst kan bestämmas, med kännedom om kap. tröghetsaxel och M. och. om dessa yxor.
Baserat på de allmänna formlerna som erhållits ovan är det möjligt att ange specifika metoder för att bestämma koordinaterna för kropparnas tyngdpunkter.
1. Om en homogen kropp har ett plan, axel eller symmetricentrum, så ligger dess tyngdpunkt antingen i symmetriplanet, eller på symmetriaxeln, eller i symmetricentrum.
Antag till exempel att en homogen kropp har ett symmetriplan. Sedan, med detta plan, delas det i två sådana delar, vars vikter och är lika med varandra, och tyngdpunkterna är på lika avstånd från symmetriplanet. Följaktligen kommer kroppens tyngdpunkt som en punkt genom vilken resultanten av två lika stora och parallella krafter passerar verkligen att ligga i symmetriplanet. Ett liknande resultat erhålls i de fall där kroppen har en axel eller symmetricentrum.
Det följer av symmetriegenskaperna att tyngdpunkten för en homogen rund ring, en rund eller rektangulär platta, en rektangulär parallellepiped, en boll och andra homogena kroppar med ett symmetricentrum ligger i det geometriska centrumet (symmetricentrum) dessa kroppar.
2. Partitionering. Om kroppen kan delas upp i ett ändligt antal sådana delar, för var och en av vilka tyngdpunktens position är känd, kan koordinaterna för hela kroppens tyngdpunkt direkt beräknas med formler (59) - (62). I det här fallet kommer antalet termer i var och en av summorna att vara lika med antalet delar som kroppen är uppdelad i.
Uppgift 45. Bestäm koordinaterna för tyngdpunkten för den homogena plattan som visas i fig. 106. Alla mått är i centimeter.
Lösning. Vi ritar x-, y-axlarna och delar upp plattan i tre rektanglar (snittlinjer visas i fig. 106). Vi beräknar koordinaterna för tyngdpunkterna för var och en av rektanglarna och deras area (se tabell).
Hela tallrikarean
Genom att ersätta de beräknade kvantiteterna i formler (61) får vi:
Den hittade positionen för tyngdpunkten C visas på ritningen; punkt C är utanför plattan.
3. Tillägg. Denna metod är ett specialfall av partitioneringsmetoden. Det gäller kroppar med utskärningar om kroppens tyngdpunkter utan utskärningen och utskärningen är kända.
Uppgift 46. Bestäm läget för tyngdpunkten för en rund platta med radie R med ett radiesnitt (Fig. 107). Distans
Lösning. Tyngdpunkten för plattan ligger på linjen, eftersom denna linje är symmetriaxeln. Rita koordinataxlar. För att hitta koordinaten kompletterar vi plattans area till en hel cirkel (del 1) och subtraherar sedan arean av den skurna cirkeln från det resulterande området (del 2). I det här fallet bör området för del 2, subtraherat, tas med ett minustecken. Sedan
Genom att ersätta de hittade värdena i formler (61) får vi:
Den hittade tyngdpunkten C, som du kan se, ligger till vänster om punkten
4. Integration. Om kroppen inte kan delas i flera ändliga delar, vars positioner för tyngdpunkterna är kända, delas kroppen först in i godtyckliga små volymer för vilka formler (60) har formen
var är koordinaterna för en viss punkt som ligger inuti volymen. Sedan, i likheter (63), passerar de till gränsen, tenderar allt till noll, d.v.s. drar ihop dessa volymer till punkter. Sedan förvandlas summorna i likheterna till integraler som sträcker sig över hela kroppens volym, och formlerna (63) ger gränsen:
På liknande sätt, för koordinaterna för tyngdpunkterna för områden och linjer, får vi i gränsen från formlerna (61) och (62):
Ett exempel på att tillämpa dessa formler för att bestämma koordinaterna för tyngdpunkten behandlas i nästa stycke.
5. Experimentell metod. Tyngdpunkterna för inhomogena kroppar av komplex konfiguration (flygplan, ånglok, etc.) kan bestämmas experimentellt. En av de möjliga experimentella metoderna (upphängningsmetoden) är att kroppen hängs upp på en tråd eller kabel vid dess olika punkter. Riktningen på tråden på vilken kroppen är upphängd kommer varje gång att ge tyngdkraftens riktning. Skärningspunkten för dessa riktningar bestämmer kroppens tyngdpunkt. Ett annat möjligt sätt att experimentellt bestämma tyngdpunkten är vägningsmetoden. Tanken bakom denna metod framgår tydligt av exemplet nedan.
Innan du hittar tyngdpunkten för enkla figurer, till exempel de som har en rektangulär, rund, sfärisk eller cylindrisk, såväl som en kvadratisk form, måste du veta vid vilken punkt symmetricentrum för en viss figur är belägen. Eftersom i dessa fall kommer tyngdpunkten att sammanfalla med symmetricentrum.
Tyngdpunkten för en homogen stav ligger i dess geometriska centrum. Om det är nödvändigt att bestämma tyngdpunkten för en rund skiva med en homogen struktur, hitta först skärningspunkten för cirkelns diametrar. Det kommer att vara den här kroppens tyngdpunkt. Med tanke på sådana figurer som en boll, en båge och en homogen rektangulär parallellepiped, är det säkert att säga att bågens tyngdpunkt kommer att vara i mitten av figuren, men utanför dess punkter är bollens tyngdpunkt sfärens geometriska centrum, och i det senare fallet är tyngdpunkten skärningsdiagonalerna för en rektangulär parallellepiped.
Tyngdpunkten för inhomogena kroppar
För att hitta koordinaterna för tyngdpunkten, såväl som tyngdpunkten för en inhomogen kropp, är det nödvändigt att ta reda på vilket segment av denna kropp punkten är belägen, där alla tyngdkrafter som verkar på figur skärs om den vänds. I praktiken, för att hitta en sådan punkt, hängs kroppen på en tråd, vilket gradvis ändrar trådens fästpunkter till kroppen. I fallet när kroppen är i jämvikt, kommer kroppens tyngdpunkt att ligga på en linje som sammanfaller med trådens linje. Annars sätter tyngdkraften kroppen i rörelse.
Ta en penna och en linjal, rita vertikala linjer som visuellt kommer att sammanfalla med trådriktningarna (trådar fixerade på olika punkter på kroppen). Om kroppens form är ganska komplex, rita sedan flera linjer som kommer att skära varandra vid en punkt. Det kommer att bli tyngdpunkten för kroppen som du utförde experimentet på.
Triangelns tyngdpunkt
För att hitta en triangels tyngdpunkt måste du rita en triangel - en figur som består av tre segment anslutna till varandra i tre punkter. Innan du hittar figurens tyngdpunkt måste du använda en linjal för att mäta längden på ena sidan av triangeln. I mitten av sidan, sätt ett märke, varefter anslut den motsatta vertexen och mitten av segmentet med en linje som kallas medianen. Upprepa samma algoritm med den andra sidan av triangeln och sedan med den tredje. Resultatet av ditt arbete blir tre medianer som skär varandra vid en punkt, vilket kommer att vara triangelns tyngdpunkt.
Om du står inför uppgiften att hitta tyngdpunkten för en kropp i form av en liksidig triangel, måste du rita en höjd från varje vertex med hjälp av en rektangulär linjal. Tyngdpunkten i en liksidig triangel kommer att vara i skärningspunkten mellan höjder, medianer och bisektrar, eftersom samma segment samtidigt är höjder, medianer och bisektrar.
Koordinaterna för triangelns tyngdpunkt
Innan vi hittar triangelns tyngdpunkt och dess koordinater, låt oss ta en närmare titt på själva figuren. Detta är en homogen triangulär platta, med hörn A, B, C och följaktligen koordinater: för vertex A - x1 och y1; för vertex B - x2 och y2; för vertex C - x3 och y3. När vi hittar koordinaterna för tyngdpunkten kommer vi inte att ta hänsyn till tjockleken på den triangulära plattan. Figuren visar tydligt att triangelns tyngdpunkt indikeras av bokstaven E - för att hitta den ritade vi tre medianer, i skärningspunkten för vilken vi sätter punkten E. Den har sina egna koordinater: xE och yE.
Ena änden av medianen ritad från vertex A till segment B har koordinater x 1, y 1, (detta är punkt A), och de andra koordinaterna för medianen erhålls baserat på det faktum att punkt D (den andra änden av medianen ) är i mitten av segmentet BC. Ändarna av detta segment har koordinater kända för oss: B(x 2 , y 2) och C(x 3 , y 3). Koordinaterna för punkten D betecknas med xD och yD . Baserat på följande formler:
x=(Xl+X2)/2; y=(Y1+Y2)/2
Bestäm koordinaterna för mitten av segmentet. Vi får följande resultat:
xd=(X2+X3)/2; yd=(Y2+Y3)/2;
D *((X2+X3)/2, (Y2+Y3)/2).
Vi vet vilka koordinater som är typiska för ändarna av segmentet AD. Vi känner också till koordinaterna för punkten E, det vill säga tyngdpunkten för den triangulära plattan. Vi vet också att tyngdpunkten ligger i mitten av AD-segmentet. Nu, med hjälp av formler och data som vi känner till, kan vi hitta koordinaterna för tyngdpunkten.
Således kan vi hitta koordinaterna för triangelns tyngdpunkt, eller snarare koordinaterna för den triangulära plattans tyngdpunkt, med tanke på att dess tjocklek är okänd för oss. De är lika med det aritmetiska medelvärdet av de homogena koordinaterna för de triangulära plattans hörn.
