Το θεώρημα, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο. Εγγεγραμμένος κύκλος. Κάθετη διχοτόμος σε ευθύγραμμο τμήμα
Ορισμός 2
Ένα πολύγωνο που ικανοποιεί την συνθήκη του ορισμού 1 ονομάζεται περιγεγραμμένο σε κύκλο.
Εικόνα 1. Εγγεγραμμένος κύκλος
Θεώρημα 1 (σχετικά με έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο)
Θεώρημα 1
Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε οποιοδήποτε τρίγωνο και μόνο ένα.
Απόδειξη.
Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$. Ας σχεδιάσουμε σε αυτό διχοτόμους που τέμνονται στο σημείο $O$ και ας σχεδιάσουμε κάθετες από αυτό στις πλευρές του τριγώνου (Εικ. 2)
Εικόνα 2. Απεικόνιση του Θεωρήματος 1
Ύπαρξη: Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο $O$ και ακτίνα $OK.\ $Δεδομένου ότι το σημείο $O$ βρίσκεται σε τρεις διχοτόμους, έχει ίση απόσταση από τις πλευρές του τριγώνου $ABC$. Δηλαδή, $OM=OK=OL$. Κατά συνέπεια, ο κατασκευασμένος κύκλος διέρχεται επίσης από τα σημεία $M\ και\ L$. Εφόσον τα $OM,OK\ και\ OL$ είναι κάθετες στις πλευρές του τριγώνου, τότε με το θεώρημα της εφαπτομένης του κύκλου, ο κατασκευασμένος κύκλος αγγίζει και τις τρεις πλευρές του τριγώνου. Επομένως, λόγω της αυθαιρεσίας ενός τριγώνου, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο.
Μοναδικότητα: Ας υποθέσουμε ότι ένας άλλος κύκλος με κέντρο στο σημείο $O"$ μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνο $ABC$. Το κέντρο του είναι ίση απόσταση από τις πλευρές του τριγώνου και, επομένως, συμπίπτει με το σημείο $O$ και έχει ακτίνα ίση με μήκος $OK$ Αλλά τότε αυτός ο κύκλος θα συμπίπτει με τον πρώτο.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συμπέρασμα 1: Το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο βρίσκεται στο σημείο τομής των διχοτόμων του.
Ακολουθούν μερικά ακόμη στοιχεία που σχετίζονται με την έννοια του εγγεγραμμένου κύκλου:
Δεν χωράει κάθε τετράπλευρο κύκλο.
Σε κάθε περιγεγραμμένο τετράπλευρο, τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα.
Εάν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι ίσα, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε αυτό.
Ορισμός 3
Εάν όλες οι κορυφές ενός πολυγώνου βρίσκονται σε έναν κύκλο, τότε ο κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος γύρω από το πολύγωνο (Εικ. 3).
Ορισμός 4
Ένα πολύγωνο που ικανοποιεί τον ορισμό 2 λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο.
Εικόνα 3. Περιγεγραμμένος κύκλος
Θεώρημα 2 (σχετικά με τον κυκλικό κύκλο ενός τριγώνου)
Θεώρημα 2
Γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο, και μόνο ένα.
Απόδειξη.
Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$. Ας σχεδιάσουμε σε αυτό κάθετες διχοτόμους, που τέμνονται στο σημείο $O$, και ας το συνδέσουμε με τις κορυφές του τριγώνου (Εικ. 4)
Εικόνα 4. Απεικόνιση του Θεωρήματος 2
Ύπαρξη: Ας κατασκευάσουμε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο $O$ και ακτίνα $OC$. Το σημείο $O$ έχει ίση απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή $OA=OB=OC$. Κατά συνέπεια, ο κατασκευασμένος κύκλος διέρχεται από όλες τις κορυφές ενός δεδομένου τριγώνου, πράγμα που σημαίνει ότι περικλείεται γύρω από αυτό το τρίγωνο.
Μοναδικότητα: Ας υποθέσουμε ότι ένας άλλος κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από το τρίγωνο $ABC$ με το κέντρο του στο σημείο $O"$. Το κέντρο του απέχει από τις κορυφές του τριγώνου και, επομένως, συμπίπτει με το σημείο $O$ και έχει μια ακτίνα ίση με το μήκος $OC $ Αλλά τότε αυτός ο κύκλος θα συμπίπτει με τον πρώτο.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συμπέρασμα 1: Το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο συμπίπτει με το σημείο τομής των διτομικών καθέτων του.
Ακολουθούν μερικά ακόμη στοιχεία που σχετίζονται με την έννοια του περικυκλίου:
Δεν είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από ένα τετράπλευρο.
Σε οποιοδήποτε κυκλικό τετράπλευρο, το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι $(180)^0$.
Αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου είναι $(180)^0$, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω του.
Ένα παράδειγμα ενός προβλήματος σχετικά με τις έννοιες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων
Παράδειγμα 1
Σε ισοσκελές τρίγωνο η βάση είναι 8 εκ. και η πλευρά 5 εκ. Βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Λύση.
Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$. Από το συμπέρασμα 1, γνωρίζουμε ότι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στη διασταύρωση των διχοτόμων. Ας σχεδιάσουμε τις διχοτόμους $AK$ και $BM$, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $O$. Ας σχεδιάσουμε μια κάθετη $OH$ από το σημείο $O$ στην πλευρά $BC$. Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα:
Εικόνα 5.
Εφόσον το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε το $BM$ είναι και η διάμεσος και το ύψος. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- η απαιτούμενη ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Εφόσον τα $MC$ και $CH$ είναι τμήματα τεμνόμενων εφαπτομένων, τότε με το θεώρημα των τεμνόμενων εφαπτομένων, έχουμε $CH=MC=4\ cm$. Επομένως, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Από το τρίγωνο $OHB$, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Απάντηση:$\frac(4)(3)$.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΤΑΙ ΓΥΡΩ ΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ: Γύρω από οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο είναι δυνατό να περιγραφεί ένας κύκλος, και μόνο ένα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΚΥΚΛΟ ΕΓΓΡΑΦΗΜΕΝΟ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΟΛΥΓΩΝΟ: Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, και μόνο σε ένα.
Spa4a4 rRN Υπολογισμός του εμβαδού ενός κανονικού πολυγώνου, της πλευράς του και της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου
Περιοχές κανονικών πολυγώνων ΟΝΟΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΗ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ Αριθμός πλευρών Όνομα πολυγώνουΕμβαδόν κανονικού πολυγώνου 3Τρίγωνο0.433a 2 4Τετράπλευρο1.000a 2 5Πεντάγωνο1.720a 2 6Εξάγωνο48αγωνικό270. 828α 2 9Οκτάγωνο6.182a 2 10Δεκάγωνο7.694a 2 nn- τετράγωνο
0 εγγεγραμμένες γωνίες. Ιπποκράτης Χίου Η απόδειξη που παρουσιάζεται στα σύγχρονα εγχειρίδια ότι μια εγγεγραμμένη γωνία μετριέται με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται δίνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στην πρόταση αυτή όμως αναφέρεται και ο Ιπποκράτης ο Χίος (5ος αι. π.Χ.) στο έργο του για τις «τρύπες». Τα έργα του Ιπποκράτη δείχνουν ότι ήδη από το δεύτερο μισό του 5ου αι. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Ένας μεγάλος αριθμός θεωρημάτων που διατυπώθηκαν στα Στοιχεία του Ευκλείδη ήταν γνωστός και η γεωμετρία έφτασε σε υψηλό επίπεδο ανάπτυξης. Το γεγονός ότι μια εγγεγραμμένη γωνία με βάση μια διάμετρο είναι ορθή γωνία ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους πριν από 4000 χρόνια. Η πρώτη του απόδειξη αποδίδεται από την Παμφυλία, Ρωμαίο συγγραφέα από την εποχή του Νέρωνα, στον Θαλή της Μιλήτου.
0 κανονικά πολύγωνα Κανονικά τετράγωνα, εξάγωνα και οκτάγωνα βρίσκονται σε αρχαία μνημεία της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας με τη μορφή εικόνων σε τοίχους και διακοσμήσεις λαξευμένες από πέτρα. Οι αρχαίοι Έλληνες επιστήμονες άρχισαν να δείχνουν μεγάλο ενδιαφέρον για τα κανονικά σχήματα από την εποχή του Πυθαγόρα. Η διαίρεση ενός κύκλου σε πολλά ίσα μέρη για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων ήταν σημαντική για τους Πυθαγόρειους, οι οποίοι υποστήριξαν ότι οι αριθμοί αποτελούν τη βάση όλων των φαινομένων στον κόσμο. Το δόγμα των κανονικών πολυγώνων, που ξεκίνησε στη σχολή του Πυθαγόρα, συνεχίστηκε και αναπτύχθηκε τον 7ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε., συστηματοποιήθηκε από τον Ευκλείδη και εκτέθηκε στο Βιβλίο IV των Στοιχείων. Εκτός από την κατασκευή ενός κανονικού τριγώνου, τετράπλευρου, πενταγώνου και εξαγώνου, ο Ευκλείδης λύνει επίσης το πρόβλημα της κατασκευής ενός κανονικού τριγώνου δεκαπέντε πλευρών χρησιμοποιώντας μόνο μια πυξίδα και έναν χάρακα. Αυτό το σχήμα τράβηξε την προσοχή των αρχαίων, αφού παρατηρήθηκε ότι το τόξο της γωνίας κλίσης της εκλειπτικής προς τον ισημερινό αντιπροσωπεύει ολόκληρο τον κύκλο, δηλαδή υποτείνεται από την πλευρά ενός κανονικού δεκαπενταπλευρικού τριγώνου.
A B C O1 O2 O1 είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, O2 είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου Αναγκαιότητα: Επάρκεια: D AB + CD = BC + AD και, επομένως, AB = CD = BAD = ADC, αλλά BAD + ABC = 180 Ως εκ τούτου, ADC + ABC = 180 , και ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί γύρω από το τραπέζιο ABCD Επιπλέον, AB + CD = BC + AD και, επομένως, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στο ABCD. Είναι απαραίτητο και αρκετό το τραπέζι να είναι ισόπλευρο και η πλάγια πλευρά ίση με το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων.
Και αφορά όλες τις πλευρές του.
Εγκυκλοπαιδικό YouTube
-
1 / 5
Ιδιότητες του εγγεγραμμένου κύκλου:
r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))));) 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))Οπου a , b , c (\displaystyle a,b,c)- πλευρές του τριγώνου, h a , h b , h c (\style display h_(a),h_(b),h_(c))- ύψη τραβηγμένα στις αντίστοιχες πλευρές.
r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((p-a)(p-b) (ρ-γ))(ρ))))Οπου S (\displaystyle S)είναι το εμβαδόν του τριγώνου και p (\displaystyle p)- η ημιπερίμετρός του.
- Αν A B (\displaystyle AB)- τη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου, ο κύκλος που εφάπτεται στις πλευρές της γωνίας ∠ A C B (\displaystyle \γωνία ACB)σε σημεία A (\displaystyle A)Και B (\displaystyle B), διέρχεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου △ A B C (\displaystyle \τρίγωνο ABC).
- Θεώρημα Euler: R 2 − 2 R r = | O I | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), Οπου R (\displaystyle R)- ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο, r (\displaystyle r)- ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό, O (\displaystyle O)- κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, I (\displaystyle I)- κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.
- Αν μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο I παράλληλη προς την πλευρά AB τέμνει τις πλευρές BC και CA στα σημεία A 1 και B 1, τότε A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- Αν τα σημεία εφαπτομένης είναι εγγεγραμμένα σε τρίγωνο T (\displaystyle T)Συνδέστε τους κύκλους με τμήματα, παίρνετε ένα τρίγωνο T 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες:
- Οι διχοτόμοι του Τ είναι οι κάθετοι του Τ 1
- Έστω T 2 το ορθότριγωνο T 1 . Τότε οι πλευρές του είναι παράλληλες με τις πλευρές του αρχικού τριγώνου Τ.
- Έστω T 3 το μέσο του τριγώνου T 1 . Τότε οι διχοτόμοι του Τ είναι τα ύψη του Τ 3 .
- Έστω T 4 ορθότριγωνο του T 3 , τότε οι διχοτόμοι του T είναι οι διχοτόμοι του T 4 .
- Η ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a, b και υποτείνουσα c είναι ίση με a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- Η απόσταση από την κορυφή C του τριγώνου μέχρι το σημείο στο οποίο ο κύκλος αγγίζει την πλευρά είναι ίση με d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- Η απόσταση από την κορυφή Γ έως το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι l c = r sin (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma )(2)))))), όπου r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και γ είναι η γωνία της κορυφής C.
- Η απόσταση από την κορυφή C έως το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2))))Και l c = a b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
- Το θεώρημα της τρίαινας ή θεώρημα τριφυλλιού: Αν ρε- σημείο τομής της διχοτόμου γωνίας ΕΝΑμε τον κυκλικό κύκλο ενός τριγώνου αλφάβητο, ΕγώΚαι J- αντίστοιχα, τα κέντρα του εγγεγραμμένου και του κύκλου που εφάπτονται στην πλευρά ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., Επειτα | D I | = | D B | = | D C | = | D J | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Το λήμμα της Βεριέρας: αφήστε τον κύκλο V (\displaystyle V)αφορά τα μέρη A B (\displaystyle AB), A C (\displaystyle AC)και τόξα B C (\displaystyle BC)κύκλος τριγώνου. Στη συνέχεια τα σημεία εφαπτομένης του κύκλου V (\displaystyle V)με πλευρές και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου A B C (\displaystyle ABC)ξαπλώστε στην ίδια ευθεία.
- Το θεώρημα του Φόιερμπαχ. Ο κύκλος των εννέα σημείων αγγίζει και τα τρία περικυκλώνει, και εγγεγραμμένος κύκλος. Σημείο επαφής Ο κύκλος του EulerΚαι εγγεγραμμένος κύκλοςγνωστό ως σημείο του Φόιερμπαχ.
Σχέση εγγεγραμμένου κύκλου και κυκλικού κύκλου
R R = 4 S 2 p a b c = cos α + cos β + cos γ − 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)
