Absolut och villkorad konvergens av serier. Omväxlande rader. Leibniz tecken. Absolut och villkorad konvergens Absolut konvergens av serier
Alternerande serier är serier vars termer är omväxlande positiva och negativa. . Oftast övervägs alternerande serier, där termerna alternerar genom en: varje positiv följs av en negativ, varje negativ följs av en positiv. Men det finns omväxlande rader där medlemmarna alternerar efter två, tre och så vidare.
Betrakta ett exempel på en alternerande serie, vars början ser ut så här:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
och omedelbart generella regler register över alternerande rader.
Som i fallet med alla serier, för att fortsätta denna serie, måste du ange en funktion som bestämmer den gemensamma termen för serien. I vårt fall detta n + 2 .
Och hur ställer man in växlingen av tecken för medlemmarna i serien? Multiplicera funktionen med minus ett till någon grad. I vilken grad? Vi betonar omedelbart att ingen grad ger växling av tecken enligt seriens villkor.
Låt oss säga att vi vill att den första termen i en alternerande serie ska vara positiv, vilket är fallet i exemplet ovan. Då måste minus en vara vid makten n− 1 . Börja ersätta siffror från ett i detta uttryck så får du som exponent vid minus ett, sedan ett jämnt, sedan ett udda tal. Detta är det nödvändiga villkoret för växling av tecken! Vi får samma resultat när n+ 1 . Om vi vill att den första termen i den alternerande serien ska vara negativ, kan vi specificera denna serie genom att multiplicera den gemensamma termfunktionen med en i potens n. Vi får ett jämnt tal, sedan ett udda tal och så vidare. Som du kan se är det redan beskrivna villkoret för växling av tecken uppfyllt.
Således kan vi skriva ovanstående alternerande serier i allmän form:
För alternerande tecken på en term i en serie kan potensen minus ett vara summan n och alla positiva eller negativa, jämna eller udda tal. Detsamma gäller 3 n , 5n, ... Det vill säga växlingen av tecknen för medlemmarna i den alternerande serien ger graden vid minus ett i form av en summa n multiplicerat med valfritt udda tal och valfritt tal.
Vilka grader vid minus ett ger inte växling av tecken för medlemmarna i serien? De som finns i formuläret n multiplicerat med valfritt jämnt tal, till vilket läggs valfritt tal, inklusive noll, jämnt eller udda. Exempel på indikatorer för sådana grader: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... När det gäller sådana grader, beroende på talet som "en" adderas med, multiplicerat med ett jämnt tal, erhålls antingen bara jämna eller endast udda tal, vilket, som vi redan har tagit reda på, gör inte ge växling av tecken på medlemmarna i serien.
Omväxlande serie - ett specialfall alternerande serier . Alternerande serier är serier med medlemmar av godtyckliga tecken , det vill säga de som kan vara positiva och negativa i valfri ordning. Ett exempel på en alternerande serie:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Överväg sedan konvergenskriterierna för alternerande och alternerande serier. Den villkorliga konvergensen av alternerande serier kan fastställas med hjälp av Leibniz-testet. Och för ett bredare utbud av serier - alternerande (inklusive alternerande) - finns det ett tecken på absolut konvergens.
Konvergens av alternerande serier. Leibniz tecken
För alternerande serier sker följande konvergenstest - Leibniz-testet.
Sats (Leibniz test). Serien konvergerar, och dess summa överstiger inte den första termen, om följande två villkor är uppfyllda samtidigt:
- de absoluta värdena för medlemmarna i den alternerande serien minskar: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ...;
- gräns för dess gemensamma löptid med obegränsad ökning när lika med noll.
Följd. Om för summan av en alternerande serie tar vi summan av dess n termer, kommer det tillåtna felet i det här fallet inte att överstiga det absoluta värdet av den första kasserade termen.
Exempel 1 Undersök konvergensen av en serie
Lösning. Detta är en omväxlande rad. Medlemmarnas absoluta värde minskar:
och gränsen för den gemensamma termen
är lika med noll:
Båda villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda, så serien konvergerar.
Exempel 2 Undersök konvergensen av en serie
Lösning. Detta är en omväxlande rad. Låt oss först bevisa att:
,
.
Om N= 1 , sedan för alla n > N ojämlikhet 12 n − 7 > n. I sin tur för varje n. Därför, det vill säga seriens termer minskar i absolut värde. Låt oss hitta gränsen för den vanliga termen i serien (med hjälp av L'Hopitals regel):
Gränsen för den gemensamma termen är noll. Båda villkoren för Leibniz-kriteriet är uppfyllda, så svaret på frågan om konvergens är positivt.
Exempel 3 Undersök konvergensen av en serie
Lösning. En alternerande serie ges. Låt oss ta reda på om det första villkoret för Leibniz-tecknet är uppfyllt, det vill säga kravet . För att kravet ska uppfyllas krävs att
Vi såg till att kravet uppfylldes för alla n > 0 . Det första Leibniz-testet är uppfyllt. Hitta gränsen för den vanliga termen i serien:
.
Gränsen är inte noll. Det andra villkoret i Leibniz-testet är alltså inte uppfyllt, så konvergens är uteslutet.
Exempel 4 Undersök konvergensen av en serie
Lösning. I denna serie följs två negativa termer av två positiva. Även denna serie är omväxlande. Låt oss ta reda på om det första villkoret i Leibniz-testet är uppfyllt.
Kravet är uppfyllt för alla n > 1 . Det första Leibniz-testet är uppfyllt. Ta reda på om gränsen för den vanliga termen är lika med noll (med hjälp av L'Hopitals regel):
.
Vi fick noll. Således är båda villkoren för Leibniz-testet uppfyllda. Konvergens är på plats.
Exempel 5 Undersök konvergensen av en serie
Lösning. Detta är en omväxlande rad. Låt oss ta reda på om det första villkoret i Leibniz-testet är uppfyllt. Därför att
,
Därför att n ≥ 0 , sedan 3 n+ 2 > 0 . I sin tur för varje n, Det är därför . Följaktligen minskar seriens termer i absolut värde. Det första Leibniz-testet är uppfyllt. Låt oss ta reda på om gränsen för den vanliga termen i serien är lika med noll (med hjälp av L'Hopitals regel):
.
Fick ett nollvärde. Båda villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda, så denna serie konvergerar.
Exempel 6 Undersök konvergensen av en serie
Lösning. Låt oss ta reda på om det första villkoret i Leibniz-testet är uppfyllt för denna alternerande serie:
Seriens termer minskar i absolut värde. Det första Leibniz-testet är uppfyllt. Ta reda på om gränsen för den vanliga termen är lika med noll:
.
Gränsen för den gemensamma termen är inte lika med noll. Det andra villkoret för Leibniz-tecknet är inte uppfyllt. Därför skiljer sig denna serie.
Leibniz-tecknet är ett tecken villkorlig konvergens av serien. Detta innebär att slutsatserna om konvergensen och divergensen för de alternerande serierna som betraktas ovan kan kompletteras: dessa serier konvergerar (eller divergerar) villkorligt.
Absolut konvergens av alternerande serier
Låt raden
- omväxlande. Tänk på en serie som består av medlemmarnas absoluta värden:
Definition. En serie kallas absolut konvergent om en serie som består av de absoluta värdena av dess termer konvergerar. Om en alternerande serie konvergerar, och en serie som består av de absoluta värdena för dess medlemmar divergerar, kallas en sådan alternerande serie villkorligt eller inte absolut konvergent .
Sats. Om en serie konvergerar absolut, då konvergerar den villkorligt.
Exempel 7 Bestäm om en serie konvergerar
Lösning. Motsvarande denna serie bredvid de positiva termerna är serien This generaliserade harmoniska serier, där , så serien divergerar. Låt oss kontrollera om villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda.
Låt oss skriva de absoluta värdena för de första fem termerna i serien:
.
Som du kan se minskar termerna i serien i absolut värde. Det första Leibniz-testet är uppfyllt. Ta reda på om gränsen för den vanliga termen är lika med noll:
Fick ett nollvärde. Båda villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda. Det vill säga att på basis av Leibniz sker konvergens. Och motsvarande serie med positiva termer divergerar. Därför konvergerar denna serie villkorligt.
Exempel 8 Bestäm om en serie konvergerar
absolut, villkorligt eller divergerande.
Lösning. Motsvarande denna serie, bredvid de positiva termerna, är serien Detta är en generaliserad övertonsserie, i vilken serien därför divergerar. Låt oss kontrollera om villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda.
En alternerande serie är ett specialfall av en alternerande serie.
Definition 2.2. Numeriska serier, vars medlemmar efter valfritt tal har olika tecken, kallas omväxlande .
För alternerande serier gäller följande. allmänt tillräckligt kriterium för konvergens.
Sats 2.2. Låt en omväxlande serie ges
Om en serie som består av moduler av termerna i denna serie konvergerar
då konvergerar den alternerande serien (2.2) själv.
Det bör noteras att det omvända påståendet inte är sant: om serien (2.2) konvergerar, betyder det inte att serien (2.3) kommer att konvergera.
Definition 2.3. absolut konvergent om serien som består av modulerna av dess medlemmar konvergerar.
Den alternerande serien kallas villkorligt konvergent om den själv konvergerar och serien som består av modulerna av dess termer divergerar.
Bland alternerande serier upptar absolut konvergenta serier en speciell plats. Sådana serier har ett antal egenskaper, som vi formulerar utan bevis.
Produkten av två absolut konvergerande serier med summor är en absolut konvergent serie vars summa är .
Således summeras absolut konvergenta serier, subtraheras, multipliceras som vanliga serier. Summorna för sådana serier beror inte på i vilken ordning villkoren skrivs.
När det gäller villkorligt konvergenta serier gäller inte motsvarande påståenden (egenskaper) i allmänhet.
Så genom att ordna om termerna för en villkorligt konvergent serie är det möjligt att säkerställa att summan av serien ändras. Till exempel en rad 
konvergerar villkorligt enligt Leibniz-testet. Låt summan av denna serie vara . Låt oss skriva om dess termer så att det efter en positiv term kommer att finnas två negativa. Vi får en serie
Beloppet har halverats!
Dessutom, genom att omordna termerna i en villkorligt konvergent serie, kan man få en konvergent serie med en förutbestämd summa eller en divergent serie (Riemanns sats).
Därför kan operationer på serier inte utföras utan att säkerställa deras absoluta konvergens. För att etablera absolut konvergens används alla tecken på konvergens av numeriska serier med positiva termer, och ersätter den vanliga termen överallt med dess modul.
Exempel 2.1. 
.
Lösning. Originalserien är teckenvariabel. Betrakta en serie som består av de absoluta värdena av termerna i denna serie, dvs. rad 
. Eftersom villkoren för den liknande serien inte är större än villkoren för Dirichlet-serien 
, som är känd för att konvergera. Därför, baserat på jämförelsetestet, konvergerar denna serie absolut. ,
Exempel 2.2. Undersök serien för konvergens.
Lösning.
2) Betrakta en serie som består av absoluta medlemmar. Vi undersöker det för konvergens med hjälp av d'Alembert-testet
Enligt d'Alembert-kriteriet konvergerar en serie som består av absoluta termer. Därför konvergerar den ursprungliga alternerande serien absolut. ,
Exempel 2.3. Undersök efter konvergensserier 
.
Lösning. 1) Denna serie är omväxlande. Vi använder Leibniz-testet. Låt oss kolla om villkoren är uppfyllda.
Därför konvergerar originalserien.
2) Betrakta en serie som består av absoluta medlemmar. Låt oss undersöka det för konvergens med hjälp av gränskriteriet för jämförelse. Betrakta en harmonisk serie som divergerar.
Därför beter sig båda raderna på samma sätt, d.v.s. en serie sammansatt av absoluta termer divergerar också. Därför konvergerar den ursprungliga alternerande serien villkorligt. ,
Definition 1
Talserien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, vars medlemmar har godtyckliga tecken (+), (?), kallas en alternerande serie.
De alternerande serierna som betraktas ovan är ett specialfall av de alternerande serierna; det är tydligt att inte varje alternerande serie är alternerande. Till exempel, serien $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ alternerande men inte teckenalternerande serie.
Observera att i en omväxlande serie termer, både med tecknet (+) och med tecknet (-), finns det oändligt många. Om detta inte är sant, till exempel, innehåller serien ett ändligt antal negativa termer, då kan de kasseras och en serie sammansatt av endast positiva termer kan övervägas, och vice versa.
Definition 2
Om talserien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar och dess summa är S, och partiell summan är lika med $S_n$ , då kallas $r_(n) =S-S_(n) $ resten av serien, och $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, d.v.s. resten av den konvergerande serien tenderar till 0.
Definition 3
En serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ kallas absolut konvergent om serien består av de absoluta värdena för dess medlemmar $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Definition 4
Om talserien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar och serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\höger| $, sammansatt av de absoluta värdena för dess medlemmar, divergerar, då kallas den ursprungliga serien villkorligt (icke-absolut) konvergent.
Sats 1 (ett tillräckligt kriterium för konvergens av alternerande serier)
Den alternerande serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar absolut om serien består av de absoluta värdena för dess medlemmar$\sum \limits _(n=1) ^ konvergerar (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Kommentar
Sats 1 ger bara ett tillräckligt villkor för konvergens av alternerande serier. Den omvända satsen är inte sann, d.v.s. om den alternerande serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar, är det inte nödvändigt att serien som består av moduler $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (det kan vara antingen konvergent eller divergent). Till exempel, serien $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\summa \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergerar enligt Leibniz-testet, och serien som består av de absoluta värdena av dess termer är $\sum \limits _(n) =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (övertonsserie) divergerar.
Fastighet 1
Om serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar absolut, då konvergerar den absolut för varje permutation av dess medlemmar, och summan av serien beror inte på ordningen av medlemmarna. Om $S"$ är summan av alla dess positiva termer, och $S""$ är summan av alla absoluta värden av dess negativa termer, då är summan av serien $\summa \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ är lika med $S=S"-S""$.
Fastighet 2
Om serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar absolut och $C=(\rm const)$, då serien $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ konvergerar också absolut.
Fastighet 3
Om serierna $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ och $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ konvergerar absolut, då serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ konvergerar också absolut.
Egenskap 4 (Riemanns sats)
Om serien villkorligt konvergerar, så oavsett vilket nummer A vi tar, kan vi ordna om termerna för denna serie så att dess summa är exakt lika med A; dessutom är det möjligt att omordna termerna för en villkorligt konvergent serie på ett sådant sätt att den efter det divergerar.
Exempel 1
Undersök serien för villkorad och absolut konvergens
\[\summa \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Lösning. Denna serie är teckenalternerande, vars vanliga term vi betecknar: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n) =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Exempel 2
Undersök serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ för absolut och villkorlig konvergens.
- Vi undersöker serien för absolut konvergens. Beteckna $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ och komponera en serie absoluta värden $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Vi får serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ med positiva termer, på vilka vi tillämpar gränskriteriet för seriejämförelse. För jämförelse med $\summa \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ betrakta en serie som har formen $\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Denna serie är en Dirichlet-serie med exponent $p=\frac(1)(2)
- Därefter undersöker vi den ursprungliga serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ för villkorlig konvergens. För att göra detta kontrollerar vi att villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda. Villkor 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, där $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , dvs. denna serie är omväxlande. För att verifiera villkor 2) på den monotona minskningen av termerna i serien använder vi följande metod. Betrakta hjälpfunktionen $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definierad för $x\in (|a_(n)|))). Sedan
Påståendet om konvergens i Cauchys och d'Alemberts tecken härleds från en jämförelse med en geometrisk progression (med nämnare lim¯n → ∞ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|) Och α (\displaystyle \alpha ) respektive), om avvikelse - från det faktum att den gemensamma termen i serien inte tenderar till noll.
Cauchy-testet är starkare än d'Alembert-testet i den meningen att om d'Alembert-testet indikerar konvergens, så indikerar Cauchy-testet konvergens; om Cauchy-testet inte tillåter oss att dra en slutsats om konvergens, så tillåter d'Alembert-testet oss inte heller att dra några slutsatser; det finns serier för vilka Cauchy-testet indikerar konvergens, men d'Alembert-testet indikerar inte konvergens.
Integral sign Cauchy - Maclarin
Låt en serie ges ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) och funktion f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) Så att:
Sedan serien ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) och integrerad ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) konvergera eller divergera samtidigt, och ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\inft )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
Sign Raabe
Låt en serie ges ∑ a n (\displaystyle \summa a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) Och R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).
Raabe-tecknet är baserat på jämförelse med den generaliserade övertonsserien
Radåtgärder
Exempel
Tänk på serien 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). För den här raden:
Således indikerar Cauchy-testet konvergens, medan d'Alembert-testet inte tillåter några slutsatser att dras.
Tänk på serien ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
Således indikerar Cauchy-testet divergens, medan d'Alembert-testet inte tillåter några slutsatser att dras.
Rad ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) konvergerar kl α > 1 (\displaystyle \alpha >1) och avviker kl α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), dock:
Således tillåter inte Cauchys och d'Alemberts tecken att dra några slutsatser.
Rad ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) konvergerar villkorligt enligt Leibniz-kriteriet, men inte absolut, eftersom den harmoniska serien ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\summa _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) avviker.
, är obegränsad i punktens vänstra grannskap b (\displaystyle b). Felaktig integral av det andra slaget ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) kallad absolut konvergent om integralen konvergerar ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).
