Πώς να βρείτε το κέντρο βάρους ενός κύκλου με μια τρύπα. Μέθοδοι προσδιορισμού των συντεταγμένων του κέντρου βάρους

Με βάση τους γενικούς τύπους που ελήφθησαν παραπάνω, είναι δυνατό να υποδειχθούν συγκεκριμένες μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κέντρων βάρους των σωμάτων.

1. Συμμετρία.Εάν ένα ομοιογενές σώμα έχει επίπεδο, άξονα ή κέντρο συμμετρίας (Εικ. 7), τότε το κέντρο βάρους του βρίσκεται αντίστοιχα στο επίπεδο συμμετρίας, στον άξονα συμμετρίας ή στο κέντρο συμμετρίας.

Εικ.7

2. Δυνατός.Το σώμα χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών (Εικ. 8), για καθένα από τα οποία είναι γνωστά η θέση του κέντρου βάρους και η περιοχή.

Εικ.8

3.Μέθοδος αρνητικών περιοχών.Μια ειδική περίπτωση της μεθόδου κατάτμησης (Εικ. 9). Ισχύει για σώματα με εγκοπές εάν είναι γνωστά τα κέντρα βάρους του σώματος χωρίς την αποκοπή και την αποκοπή. Ένα σώμα με τη μορφή αποκομμένης πλάκας αντιπροσωπεύεται από έναν συνδυασμό μιας συμπαγούς πλάκας (χωρίς αποκοπή) με μια περιοχή S 1 και την περιοχή του αποκομμένου τμήματος S 2 .

Εικ.9

4.μέθοδος ομαδοποίησης.Είναι μια καλή προσθήκη στις δύο τελευταίες μεθόδους. Αφού σπάσουμε το σχήμα στα συστατικά του στοιχεία, μπορεί να είναι βολικό να συνδυαστούν ξανά μερικά από αυτά, ώστε στη συνέχεια να απλοποιηθεί η λύση λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία αυτής της ομάδας.

Κέντρα βάρους κάποιων ομοιογενών σωμάτων.

1) Κέντρο βάρους κυκλικού τόξου.Σκεφτείτε το τόξο ΑΒακτίνα κύκλου Rμε κεντρική γωνία. Λόγω της συμμετρίας, το κέντρο βάρους αυτού του τόξου βρίσκεται στον άξονα Βόδι(Εικ. 10).

Εικ.10

Ας βρούμε τη συντεταγμένη χρησιμοποιώντας τον τύπο. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε στο τόξο ΑΒστοιχείο ΜΜ'μήκος , η θέση του οποίου καθορίζεται από τη γωνία . Συντεταγμένη Χστοιχείο ΜΜ'θα . Αντικατάσταση αυτών των τιμών Χκαι δ μεγάλοκαι έχοντας κατά νου ότι το ολοκλήρωμα πρέπει να επεκταθεί σε όλο το μήκος του τόξου, παίρνουμε:

Οπου μεγάλο- μήκος τόξου ΑΒ, ίσο με .

Από εδώ διαπιστώνουμε τελικά ότι το κέντρο βάρους του κυκλικού τόξου βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας του σε απόσταση από το κέντρο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕίσο με

όπου η γωνία μετριέται σε ακτίνια.

2) Το κέντρο βάρους της περιοχής ενός τριγώνου.Σκεφτείτε ένα τρίγωνο που βρίσκεται στο επίπεδο Oxy, του οποίου οι συντεταγμένες κορυφής είναι γνωστές: Ολα συμπεριλαμβάνονται(x i,y i), (Εγώ= 1,2,3). Σπάζοντας το τρίγωνο σε στενές λωρίδες παράλληλες στο πλάι ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 , καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου πρέπει να ανήκει στη διάμεσο ΕΝΑ 3 Μ 3 (εικ.11) .

Εικ.11

Σπάζοντας το τρίγωνο σε λωρίδες παράλληλες προς την πλευρά ΕΝΑ 2 ΕΝΑ 3, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι πρέπει να βρίσκεται στη μέση ΕΝΑ 1 Μ 1 . Ετσι, το κέντρο βάρους ενός τριγώνου βρίσκεται στο σημείο τομής των διαμέτρων του, το οποίο, όπως γνωρίζετε, χωρίζει το τρίτο μέρος από κάθε διάμεσο, μετρώντας από την αντίστοιχη πλευρά.

Ειδικότερα, για τον διάμεσο ΕΝΑ 1 Μ 1 παίρνουμε, δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του σημείου ΜΤο 1 είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των συντεταγμένων κορυφής ΕΝΑ 2 και ΕΝΑ 3:

x γ = Χ 1 + (2/3)∙(x M 1 - Χ 1) = Χ 1 + (2/3)∙[(Χ 2 + Χ 3)/2-Χ 1 ] = (Χ 1 +Χ 2 +Χ 3)/3.

Έτσι, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του τριγώνου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των συντεταγμένων των κορυφών του:

Χ ντο =(1/3)Σ x i ; y ντο =(1/3)Σ y i.

3) Το κέντρο βάρους της περιοχής του κυκλικού τομέα.Θεωρήστε έναν τομέα κύκλου ακτίνας Rμε κεντρική γωνία 2α, που βρίσκεται συμμετρικά ως προς τον άξονα Βόδι(Εικ. 12) .

Είναι προφανές ότι y ντο = 0, και η απόσταση από το κέντρο του κύκλου από τον οποίο κόβεται αυτός ο τομέας μέχρι το κέντρο βάρους του μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

Εικ.12

Ο ευκολότερος τρόπος για να υπολογίσετε αυτό το ολοκλήρωμα είναι να διαιρέσετε τον τομέα ολοκλήρωσης σε στοιχειώδεις τομείς με γωνία ρεφ. Μέχρι απειροελάχιστα της πρώτης τάξης, ένας τέτοιος τομέας μπορεί να αντικατασταθεί από ένα τρίγωνο με βάση ίση με R× ρεφ και ύψος R. Η περιοχή ενός τέτοιου τριγώνου dF=(1/2)R 2 ∙ρεφ, και το κέντρο βάρους του βρίσκεται σε απόσταση 2/3 Rαπό πάνω, οπότε στο (5) βάζουμε Χ = (2/3)R∙cosφ. Αντικατάσταση σε (5) φά= α R 2, παίρνουμε:

Χρησιμοποιώντας τον τελευταίο τύπο, υπολογίζουμε, συγκεκριμένα, την απόσταση από το κέντρο βάρους ημικύκλιο.

Αντικαθιστώντας στο (2) α = π/2, παίρνουμε: Χ ντο = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Παράδειγμα 1Ας προσδιορίσουμε το κέντρο βάρους του ομοιογενούς σώματος που φαίνεται στο Σχ. 13.

Εικ.13

Το σώμα είναι ομοιογενές, αποτελούμενο από δύο μέρη που έχουν συμμετρικό σχήμα. Οι συντεταγμένες των κέντρων βάρους τους:

Οι τόμοι τους:

Επομένως, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του σώματος

Παράδειγμα 2Βρείτε το κέντρο βάρους μιας πλάκας λυγισμένης σε ορθή γωνία. Διαστάσεις - στο σχέδιο (Εικ. 14).

Εικ.14

Συντεταγμένες κέντρα βάρους:

Τετράγωνα:

Ρύζι. 6.5.

Παράδειγμα 3Μια τετράγωνη τρύπα cm κόβεται από ένα τετράγωνο φύλλο cm (Εικ. 15). Βρείτε το κέντρο βάρους του φύλλου.

Εικ.15

Σε αυτό το πρόβλημα, είναι πιο βολικό να χωρίσετε το σώμα σε δύο μέρη: ένα μεγάλο τετράγωνο και μια τετράγωνη τρύπα. Μόνο η περιοχή της οπής πρέπει να θεωρείται αρνητική. Στη συνέχεια οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του φύλλου με την τρύπα:

συντεταγμένη αφού το σώμα έχει άξονα συμμετρίας (διαγώνιο).

Παράδειγμα 4Το συρμάτινο στήριγμα (Εικ. 16) αποτελείται από τρία τμήματα του ίδιου μήκους μεγάλο.

Εικ.16

Οι συντεταγμένες των κέντρων βάρους των τμημάτων:

Επομένως, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ολόκληρης της αγκύλης:

Παράδειγμα 5Προσδιορίστε τη θέση του κέντρου βάρους του ζευκτού, του οποίου όλες οι ράβδοι έχουν την ίδια γραμμική πυκνότητα (Εικ. 17).

Θυμηθείτε ότι στη φυσική, η πυκνότητα ενός σώματος ρ και το ειδικό βάρος του g σχετίζονται με τη σχέση: γ= ρ σολ, Οπου σολ- επιτάχυνση της βαρύτητας. Για να βρείτε τη μάζα ενός τέτοιου ομοιογενούς σώματος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την πυκνότητα με τον όγκο του.

Εικ.17

Ο όρος «γραμμική» ή «γραμμική» πυκνότητα σημαίνει ότι για να προσδιοριστεί η μάζα της ράβδου ζευκτών, η γραμμική πυκνότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το μήκος αυτής της ράβδου.

Για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο κατάτμησης. Αντιπροσωπεύοντας ένα δεδομένο ζευκτό ως άθροισμα 6 μεμονωμένων ράβδων, παίρνουμε:

Οπου L iμήκος Εγώ-η ράβδος της φάρμας, και x i, y iείναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του.

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να απλοποιηθεί ομαδοποιώντας τις τελευταίες 5 ράβδους ζευκτών. Είναι εύκολο να δούμε ότι σχηματίζουν μια μορφή με κέντρο συμμετρίας που βρίσκεται στο μέσο της τέταρτης ράβδου, όπου βρίσκεται το κέντρο βάρους αυτής της ομάδας ράβδων.

Έτσι, ένα δεδομένο ζευκτό μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν συνδυασμό μόνο δύο ομάδων ράβδων.

Η πρώτη ομάδα αποτελείται από την πρώτη ράβδο, για αυτό μεγάλο 1 = 4 m, Χ 1 = 0 m, y 1 = 2 μ. Η δεύτερη ομάδα ράβδων αποτελείται από πέντε ράβδους, για τις οποίες μεγάλο 2 = 20 m, Χ 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του αγροκτήματος βρίσκονται με τον τύπο:

Χ ντο = (μεγάλο 1 ∙Χ 1 +μεγάλο 2 ∙Χ 2)/(μεγάλο 1 + μεγάλο 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y ντο = (μεγάλο 1 ∙y 1 +μεγάλο 2 ∙y 2)/(μεγάλο 1 + μεγάλο 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Σημειώστε ότι το κέντρο ΜΕβρίσκεται στη γραμμή σύνδεσης ΜΕ 1 και ΜΕ 2 και διαιρεί το τμήμα ΜΕ 1 ΜΕ 2 σχετικά με: ΜΕ 1 ΜΕ/SS 2 = (Χ ντο - Χ 1)/(Χ 2 - Χ ντο ) = μεγάλο 2 /μεγάλο 1 = 2,5/0,5.

Ερωτήσεις για αυτοεξέταση

Ποιο είναι το κέντρο των παράλληλων δυνάμεων;

Πώς καθορίζονται οι συντεταγμένες του κέντρου των παράλληλων δυνάμεων;

Πώς να προσδιορίσετε το κέντρο των παράλληλων δυνάμεων, το αποτέλεσμα των οποίων είναι μηδέν;

Ποια είναι η ιδιότητα του κέντρου των παράλληλων δυνάμεων;

Ποιοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του κέντρου των παράλληλων δυνάμεων;

Ποιο είναι το κέντρο βάρους ενός σώματος;

Γιατί οι δυνάμεις έλξης της Γης, που δρουν σε ένα σημείο του σώματος, μπορούν να ληφθούν ως σύστημα παράλληλων δυνάμεων;

Να γράψετε τον τύπο για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου βάρους ανομοιογενών και ομοιογενών σωμάτων, τον τύπο για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου βάρους επίπεδων τμημάτων;

Να γράψετε τον τύπο για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου βάρους απλών γεωμετρικών σχημάτων: ορθογώνιο, τρίγωνο, τραπεζοειδές και μισό κύκλο;

Τι ονομάζεται στατική ροπή της περιοχής;

Δώστε ένα παράδειγμα σώματος του οποίου το κέντρο βάρους βρίσκεται έξω από το σώμα.

Πώς χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες συμμετρίας για τον προσδιορισμό των κέντρων βάρους των σωμάτων;

Ποια είναι η ουσία της μεθόδου των αρνητικών βαρών;

Πού βρίσκεται το κέντρο βάρους του κυκλικού τόξου;

Ποια γραφική κατασκευή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το κέντρο βάρους ενός τριγώνου;

Γράψτε τον τύπο που καθορίζει το κέντρο βάρους ενός κυκλικού τομέα.

Χρησιμοποιώντας τύπους που καθορίζουν τα κέντρα βάρους ενός τριγώνου και ενός κυκλικού τομέα, εξάγετε έναν παρόμοιο τύπο για ένα κυκλικό τμήμα.

Ποιοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των συντεταγμένων των κέντρων βάρους ομοιογενών σωμάτων, επίπεδων σχημάτων και ευθειών;

Τι ονομάζεται στατική ροπή του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος ως προς τον άξονα, πώς υπολογίζεται και τι διάσταση έχει;

Πώς να προσδιορίσετε τη θέση του κέντρου βάρους της περιοχής, εάν είναι γνωστή η θέση των κέντρων βάρους των επιμέρους τμημάτων της;

Ποια βοηθητικά θεωρήματα χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου βάρους;

Σχεδιάστε ένα διάγραμμα του συστήματος και σημειώστε πάνω του το κέντρο βάρους.Εάν το κέντρο βάρους που βρέθηκε βρίσκεται εκτός του συστήματος αντικειμένων, πήρατε τη λάθος απάντηση. Μπορεί να έχετε μετρήσει αποστάσεις από διαφορετικά σημεία αναφοράς. Επαναλάβετε τις μετρήσεις.

Για παράδειγμα, εάν τα παιδιά κάθονται σε μια κούνια, το κέντρο βάρους θα είναι κάπου ανάμεσα στα παιδιά και όχι δεξιά ή αριστερά της κούνιας. Επίσης, το κέντρο βάρους δεν θα συμπίπτει ποτέ με το σημείο που κάθεται το παιδί.
Αυτοί οι συλλογισμοί είναι σωστοί σε δισδιάστατο χώρο. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο που θα χωράει όλα τα αντικείμενα του συστήματος. Το κέντρο βάρους πρέπει να βρίσκεται μέσα σε αυτό το τετράγωνο.

Ελέγξτε τα μαθηματικά εάν έχετε ένα μικρό αποτέλεσμα.Εάν η αρχή βρίσκεται στο ένα άκρο του συστήματος, το μικρό αποτέλεσμα τοποθετεί το κέντρο βάρους κοντά στο τέλος του συστήματος. Αυτή μπορεί να είναι η σωστή απάντηση, αλλά στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, ένα τέτοιο αποτέλεσμα υποδηλώνει σφάλμα. Όταν υπολόγιζες τις στιγμές, πολλαπλασίασες τα αντίστοιχα βάρη και αποστάσεις; Αν αντί να πολλαπλασιάσετε προσθέσετε βάρη και αποστάσεις, θα έχετε πολύ μικρότερο αποτέλεσμα.

Διορθώστε το σφάλμα εάν βρείτε πολλά κέντρα βάρους.Κάθε σύστημα έχει μόνο ένα κέντρο βάρους. Εάν βρήκατε πολλά κέντρα βάρους, πιθανότατα δεν έχετε αθροίσει όλους τους πόντους. Το κέντρο βάρους είναι ίσο με τον λόγο της «ολικής» ροπής προς το «ολικό» βάρος. Δεν χρειάζεται να διαιρείτε «κάθε» στιγμή με «κάθε» βάρος: έτσι βρίσκετε τη θέση κάθε αντικειμένου.

Ελέγξτε το σημείο αναφοράς εάν η απάντηση διαφέρει κατά κάποια ακέραια τιμή.Στο παράδειγμά μας, η απάντηση είναι 3,4 μ. Ας υποθέσουμε ότι λάβατε μια απάντηση 0,4 m ή 1,4 m ή κάποιο άλλο αριθμό που τελειώνει σε ".4". Αυτό συμβαίνει επειδή δεν επιλέξατε το αριστερό άκρο του πίνακα ως σημείο αναφοράς, αλλά ένα σημείο που βρίσκεται στα δεξιά κατά ακέραιο αριθμό. Στην πραγματικότητα, η απάντησή σας είναι σωστή ανεξάρτητα από το σημείο αναφοράς που θα επιλέξετε! Απλώς θυμηθείτε: το σημείο αναφοράς βρίσκεται πάντα στη θέση x = 0. Ακολουθεί ένα παράδειγμα:

Στο παράδειγμά μας, το σημείο αναφοράς ήταν στο αριστερό άκρο του πίνακα και βρήκαμε ότι το κέντρο βάρους απέχει 3,4 μέτρα από αυτό το σημείο αναφοράς.
Εάν επιλέξετε ένα σημείο ως σημείο αναφοράς που βρίσκεται σε απόσταση 1 m στα δεξιά του αριστερού άκρου του πίνακα, θα λάβετε απάντηση 2,4 μ. Δηλαδή, το κέντρο βάρους βρίσκεται σε απόσταση 2,4 m από το νέο σημείο αναφοράς, το οποίο, με τη σειρά του, βρίσκεται σε απόσταση 1 m από το αριστερό άκρο της σανίδας. Έτσι, το κέντρο βάρους βρίσκεται σε απόσταση 2,4 + 1 = 3,4 m από το αριστερό άκρο της σανίδας. Πήρε μια παλιά απάντηση!
Σημείωση: Όταν μετράτε την απόσταση, να θυμάστε ότι οι αποστάσεις από το "αριστερό" σημείο αναφοράς είναι αρνητικές και από το "δεξιά" σημείο αναφοράς είναι θετικές.

Μετρήστε τις αποστάσεις σε ευθείες γραμμές.Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο παιδιά σε μια κούνια, αλλά το ένα παιδί είναι πολύ πιο ψηλό από το άλλο, ή ένα παιδί κρέμεται κάτω από τη σανίδα αντί να κάθεται σε αυτήν. Αγνοήστε αυτή τη διαφορά και μετρήστε τις αποστάσεις κατά μήκος της ευθείας γραμμής του πίνακα. Η μέτρηση αποστάσεων υπό γωνία θα οδηγήσει σε κοντινά, αλλά όχι αρκετά ακριβή αποτελέσματα.

Στην περίπτωση του προβλήματος της αιωρούμενης σανίδας, να θυμάστε ότι το κέντρο βάρους βρίσκεται μεταξύ του δεξιού και του αριστερού άκρου της σανίδας. Αργότερα, θα μάθετε πώς να υπολογίζετε το κέντρο βάρους πιο περίπλοκων δισδιάστατων συστημάτων.

Τις περισσότερες φορές, οι ακόλουθες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση του κέντρου βάρους ενός σώματος ή μιας φιγούρας:

· μέθοδος συμμετρίας?

· μέθοδος κατάτμησης?

· μέθοδος αρνητικής μάζας.

Εξετάστε τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται σε καθεμία από αυτές τις μεθόδους.

Μέθοδος συμμετρίας

Φανταστείτε ένα ομοιογενές σώμα που έχει ένα επίπεδο συμμετρίας. Επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι άξονες Χ Και z βρίσκονται στο επίπεδο συμμετρίας (βλέπε σχήμα 1).

Σε αυτή την περίπτωση, κάθε στοιχειώδες σωματίδιο από τη βαρύτητα G i με τετμημένη yi = +a αντιστοιχεί στο ίδιο στοιχειώδες σωματίδιο με την τετμημένη y i = -a , Επειτα:

y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.

Εξ ου και το συμπέρασμα: εάν ένα ομοιογενές σώμα έχει ένα επίπεδο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο.

Οι ακόλουθες δηλώσεις μπορούν να αποδειχθούν ομοίως:

Εάν ένα ομοιογενές σώμα έχει άξονα συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα.

· Αν ένα ομοιογενές σώμα έχει δύο άξονες συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται στο σημείο τομής τους.

· Το κέντρο βάρους ενός ομοιογενούς σώματος περιστροφής βρίσκεται στον άξονα της επανάστασης.

Μέθοδος κατάτμησης

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στο γεγονός ότι το σώμα χωρίζεται στον μικρότερο αριθμό μερών, των οποίων οι δυνάμεις βάρους και η θέση των κέντρων βάρους είναι γνωστές, μετά από τις οποίες οι τύποι που δόθηκαν προηγουμένως χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό του συνολικού κέντρου βάρους του σώματος.

Ας πούμε ότι συνθλίψαμε το σώμα με τη βαρύτητα σολ σε τρία μέρη ΣΟΛ" , ΣΟΛ"" , ΣΟΛ""" , τετμημένες των κέντρων βάρους των τμημάτων αυτών x" C, x"" C, x""" C γνωστός.
Ο τύπος για τον προσδιορισμό της τετμημένης του κέντρου βάρους ολόκληρου του σώματος:

x C = Σ(G i x i)/ΣG i.

Ας το ξαναγράψουμε με την εξής μορφή:

x C ΣG i = Σ(G i x i)ή Gx C = Σ(G i x i) .

Γράφουμε την τελευταία ισότητα για κάθε ένα από τα τρία μέρη του σώματος χωριστά:

G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G""" i x"" i), G"""x"""" C = Σ(G""" x""" i).

Προσθέτοντας το αριστερό και το δεξί μέρος αυτών των τριών ισοτήτων, παίρνουμε:

G"x" C + G""x"" C + G""""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x""" i) + Σ(G""" i x""" i) = Σ(G i x i).

Αλλά η δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας είναι το γινόμενο Gx C , επειδή

Gx C = Σ(G i x i),

Ως εκ τούτου, x C = (G"x" C + G""x"" C + G""""x"""" C)/G , που έπρεπε να αποδειχτεί.
Ομοίως, καθορίζονται οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους στους άξονες συντεταγμένων y Και z :

y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G""""z"""" C)/G .

Οι τύποι που προκύπτουν είναι παρόμοιοι με τους τύπους για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του κέντρου βάρους, που προέκυψαν παραπάνω. Επομένως, στους αρχικούς τύπους, είναι δυνατόν να μην αντικατασταθούν οι δυνάμεις βαρύτητας των στοιχειωδών σωματιδίων G i και τη βαρύτητα των τελικών μερών. κάτω από συντεταγμένες x i ,y i ,z i κατανοούν τις συντεταγμένες των κέντρων βάρους των μερών στα οποία είναι χωρισμένο το σώμα.

Μέθοδος αρνητικής μάζας

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στο γεγονός ότι ένα σώμα με ελεύθερες κοιλότητες θεωρείται στερεό και η μάζα των ελεύθερων κοιλοτήτων θεωρείται αρνητική. Η μορφή των τύπων για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του κέντρου βάρους του σώματος δεν αλλάζει.

Έτσι, κατά τον προσδιορισμό του κέντρου βάρους ενός σώματος με ελεύθερες κοιλότητες, θα πρέπει να χρησιμοποιείται η μέθοδος διαχωρισμού, αλλά η μάζα των κοιλοτήτων να θεωρείται αρνητική.

Πρακτικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό του κέντρου βάρους των σωμάτων

Στην πράξη, για τον προσδιορισμό του κέντρου βάρους επίπεδων σωμάτων πολύπλοκου σχήματος, χρησιμοποιείται συχνά μέθοδος κρέμασης , που συνίσταται στο ότι ένα επίπεδο σώμα αιωρείται σε ένα νήμα κάποια στιγμή. Τραβιέται μια γραμμή κατά μήκος του νήματος και το σώμα αιωρείται από ένα άλλο σημείο που δεν βρίσκεται στη γραμμή που προκύπτει.
Στη συνέχεια, τραβήξτε ξανά μια γραμμή κατά μήκος του νήματος.
Το σημείο τομής των δύο γραμμών θα είναι το κέντρο βάρους του επίπεδου σώματος.

Ένας άλλος τρόπος προσδιορισμού του κέντρου βάρους, που χρησιμοποιείται στην πράξη, ονομάζεται μέθοδος ζύγισης . Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται συχνά για τον προσδιορισμό του κέντρου βάρους μεγάλων μηχανών και προϊόντων - αυτοκίνητα, αεροσκάφη, τροχοφόρα τρακτέρ κ.λπ., τα οποία έχουν πολύπλοκο τρισδιάστατο σχήμα και σημειακή στήριξη στο έδαφος.
Η μέθοδος συνίσταται στην εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας, με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα ακίνητο σώμα είναι ίσο με μηδέν.
Πρακτικά αυτό γίνεται ζυγίζοντας ένα από τα στηρίγματα της μηχανής (στη ζυγαριά τοποθετούνται οι πίσω ή οι μπροστινοί τροχοί), ενώ οι ενδείξεις της ζυγαριάς στην πραγματικότητα είναι η αντίδραση του στηρίγματος, η οποία λαμβάνεται υπόψη κατά τη σύνταξη της εξίσωσης ισορροπίας σε σχέση με το δεύτερο υπομόχλιο (που βρίσκεται εκτός της κλίμακας).
Με βάση τη γνωστή μάζα (αντίστοιχα, βάρος) του σώματος, την ένδειξη της ζυγαριάς σε ένα από τα σημεία στήριξης και την απόσταση μεταξύ των σημείων στήριξης, μπορεί κανείς να προσδιορίσει την απόσταση από ένα από τα σημεία στήριξης στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται το κέντρο βάρους.
Για να βρεθεί με αυτόν τον τρόπο η γραμμή (άξονας) στην οποία βρίσκεται το κέντρο βάρους της μηχανής, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν δύο ζυγίσεις σύμφωνα με την αρχή που περιγράφεται παραπάνω για τη μέθοδο ανάρτησης (βλ. Εικ. 1α).

Ερώτηση 12

στιγμή αδράνειας του σώματος.

ΣΤΙΓΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ- μια τιμή που χαρακτηρίζει την κατανομή των μαζών στο σώμα και, μαζί με τη μάζα, είναι ένα μέτρο της αδράνειας του σώματος όταν δεν φτάνει. κίνηση. Στη μηχανική, ο Μ. και. αξονική και φυγόκεντρη. Αξονική Μ. και. σώμα σε σχέση με τον άξονα z που ονομάζεται. ποσότητα που ορίζεται από την ισότητα

Οπου m i- μάζες σημείων σώματος, γεια- οι αποστάσεις τους από τον άξονα z, r - πυκνότητα μάζας, V- όγκος σώματος. αξία Izείναι ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος κατά την περιστροφή του γύρω από έναν άξονα (βλ. Περιστροφική κίνηση ) . Αξονική Μ. και. μπορεί επίσης να εκφραστεί ως μια γραμμική ποσότητα r z, που ονομάζεται. ακτίνα περιστροφής γύρω από τον άξονα z, σύμφωνα με το f-le Iz = Μ r 2 z , όπου Μ- μάζα σώματος. Διάσταση Μ. και.- μεγάλο 2 Μ;μονάδες μέτρησης - kg. m 2.

Φυγόκεντρος Μ. και. σε σχέση με το ορθογώνιο σύστημα. τσεκούρια x, y, zτραβηγμένο στο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, που ονομάζεται ποσότητες που ορίζονται από τις ισότητες

ή τα αντίστοιχα ολοκληρώματα όγκου. Αυτές οι τιμές είναι τα χαρακτηριστικά της δυναμικής. ανισορροπία σώματος. Για παράδειγμα, όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z από τις τιμές I xzΚαι I yzΟι δυνάμεις πίεσης στα ρουλεμάν, στα οποία είναι στερεωμένος ο άξονας, εξαρτώνται.

M. i. σε σχέση με τους παράλληλους άξονες z και z" σχετίζονται με τη σχέση (θεώρημα Huygens)

όπου z" είναι ο άξονας που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, ρε- απόσταση μεταξύ των αξόνων.

M. i. σε σχέση με κάθε διέλευση από την προέλευση ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕτσεκούρια Ολμε συνημίτονα διεύθυνσης a, b, g βρίσκεται σύμφωνα με τον τύπο

Γνωρίζοντας έξι ποσότητες I x , I y , I z , I xy , I yz , I zx, μπορείτε διαδοχικά, χρησιμοποιώντας τα f-ly (4) και (3), να υπολογίσετε ολόκληρο το σύνολο των M. και. σώματα γύρω από τυχόν άξονες. Αυτές οι έξι ποσότητες καθορίζουν το λεγόμενο. τανυστή αδράνειας σώματος. Μέσα από κάθε σημείο του σώματος, μπορούν να σχεδιαστούν 3 τέτοιοι αμοιβαία κάθετοι άξονες, που ονομάζονται. κεφ. άξονες αδράνειας, για τους οποίους Ixy = I yz= Izx= 0. Τότε Μ. και. σώματα ως προς οποιονδήποτε άξονα μπορούν να προσδιοριστούν, γνωρίζοντας το Ch. άξονα αδράνειας και Μ. και. σχετικά με αυτούς τους άξονες.

1. Αν ένα ομογενές σώμα έχει επίπεδο, άξονα ή κέντρο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους του βρίσκεται αντίστοιχα είτε στο επίπεδο συμμετρίας, είτε στον άξονα συμμετρίας, είτε στο κέντρο συμμετρίας.

Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι ένα ομοιογενές σώμα έχει ένα επίπεδο συμμετρίας. Στη συνέχεια, με αυτό το επίπεδο, χωρίζεται σε δύο τέτοια μέρη, των οποίων τα βάρη και είναι ίσα μεταξύ τους, και τα κέντρα βάρους βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από το επίπεδο συμμετρίας. Κατά συνέπεια, το κέντρο βάρους του σώματος ως σημείο από το οποίο διέρχεται το αποτέλεσμα δύο ίσων και παράλληλων δυνάμεων θα βρίσκεται πράγματι στο επίπεδο συμμετρίας. Παρόμοιο αποτέλεσμα προκύπτει σε περιπτώσεις που το σώμα έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας.

Από τις ιδιότητες της συμμετρίας προκύπτει ότι το κέντρο βάρους ενός ομοιογενούς στρογγυλού δακτυλίου, μιας στρογγυλής ή ορθογώνιας πλάκας, ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, μιας μπάλας και άλλων ομοιογενών σωμάτων με κέντρο συμμετρίας βρίσκεται στο γεωμετρικό κέντρο (κέντρο συμμετρίας) του αυτά τα σώματα.

2. Διαμερισμός. Εάν το σώμα μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό τέτοιων μερών, για καθένα από τα οποία είναι γνωστή η θέση του κέντρου βάρους, τότε οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ολόκληρου του σώματος μπορούν να υπολογιστούν απευθείας χρησιμοποιώντας τους τύπους (59) - (62). Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός των όρων σε καθένα από τα αθροίσματα θα είναι ίσος με τον αριθμό των μερών στα οποία χωρίζεται το σώμα.

Πρόβλημα 45. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους της ομοιογενούς πλάκας που φαίνεται στο σχ. 106. Όλες οι μετρήσεις είναι σε εκατοστά.

Λύση. Σχεδιάζουμε τους άξονες x, y και χωρίζουμε την πλάκα σε τρία ορθογώνια (οι γραμμές κοπής φαίνονται στο Σχ. 106). Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των κέντρων βάρους καθενός από τα ορθογώνια και το εμβαδόν τους (βλ. πίνακα).

Ολόκληρη η περιοχή του πιάτου

Αντικαθιστώντας τις υπολογιζόμενες ποσότητες στους τύπους (61), παίρνουμε:

Η ευρεθείσα θέση του κέντρου βάρους C φαίνεται στο σχέδιο. Το σημείο Γ είναι έξω από την πλάκα.

3. Προσθήκη. Αυτή η μέθοδος είναι μια ειδική περίπτωση της μεθόδου κατάτμησης. Ισχύει για σώματα με εγκοπές εάν είναι γνωστά τα κέντρα βάρους του σώματος χωρίς την αποκοπή και την αποκοπή.

Πρόβλημα 46. Προσδιορίστε τη θέση του κέντρου βάρους μιας στρογγυλής πλάκας ακτίνας R με τομή ακτίνας (Εικ. 107). Απόσταση

Λύση. Το κέντρο βάρους της πλάκας βρίσκεται στη γραμμή, αφού αυτή η γραμμή είναι ο άξονας συμμετρίας. Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Για να βρούμε τη συντεταγμένη, συμπληρώνουμε την περιοχή της πλάκας σε έναν πλήρη κύκλο (μέρος 1) και στη συνέχεια αφαιρούμε την περιοχή του κομμένου κύκλου από την προκύπτουσα περιοχή (μέρος 2). Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν του μέρους 2, όπως αφαιρείται, θα πρέπει να λαμβάνεται με το σύμβολο μείον. Επειτα

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν σε τύπους (61), λαμβάνουμε:

Το κέντρο βάρους C που βρέθηκε, όπως μπορείτε να δείτε, βρίσκεται στα αριστερά του σημείου

4. Ένταξη. Εάν το σώμα δεν μπορεί να διαιρεθεί σε πολλά πεπερασμένα μέρη, των οποίων οι θέσεις των κέντρων βάρους είναι γνωστές, τότε το σώμα χωρίζεται πρώτα σε αυθαίρετους μικρούς όγκους για τους οποίους οι τύποι (60) παίρνουν τη μορφή

όπου βρίσκονται οι συντεταγμένες κάποιου σημείου που βρίσκονται μέσα στον όγκο.Έπειτα, στις ισότητες (63), περνούν στο όριο, τείνοντας τα πάντα στο μηδέν, δηλαδή συστέλλοντας αυτούς τους όγκους σε σημεία. Τότε τα αθροίσματα στις ισότητες μετατρέπονται σε ολοκληρώματα που εκτείνονται σε ολόκληρο τον όγκο του σώματος και οι τύποι (63) δίνουν στο όριο:

Ομοίως, για τις συντεταγμένες των κέντρων βάρους των περιοχών και των γραμμών, λαμβάνουμε στο όριο από τους τύπους (61) και (62):

Ένα παράδειγμα εφαρμογής αυτών των τύπων για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του κέντρου βάρους εξετάζεται στην επόμενη παράγραφο.

5. Πειραματική μέθοδος. Τα κέντρα βάρους ανομοιογενών σωμάτων σύνθετης διαμόρφωσης (αεροσκάφος, ατμομηχανή κ.λπ.) μπορούν να προσδιοριστούν πειραματικά. Μία από τις πιθανές πειραματικές μεθόδους (μέθοδος ανάρτησης) είναι ότι το σώμα αναρτάται σε ένα νήμα ή ένα καλώδιο στα διάφορα σημεία του. Η κατεύθυνση του νήματος πάνω στο οποίο αιωρείται το σώμα θα δίνει κάθε φορά την κατεύθυνση της βαρύτητας. Το σημείο τομής αυτών των κατευθύνσεων καθορίζει το κέντρο βάρους του σώματος. Ένας άλλος πιθανός τρόπος για να προσδιοριστεί πειραματικά το κέντρο βάρους είναι η μέθοδος ζύγισης. Η ιδέα πίσω από αυτή τη μέθοδο είναι ξεκάθαρη από το παρακάτω παράδειγμα.

Πριν βρείτε το κέντρο βάρους απλών μορφών, όπως εκείνων που έχουν ορθογώνιο, στρογγυλό, σφαιρικό ή κυλινδρικό, καθώς και τετράγωνο σχήμα, πρέπει να ξέρετε σε ποιο σημείο βρίσκεται το κέντρο συμμετρίας ενός συγκεκριμένου σχήματος. Επειδή σε αυτές τις περιπτώσεις, το κέντρο βάρους θα συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας.

Το κέντρο βάρους μιας ομοιογενούς ράβδου βρίσκεται στο γεωμετρικό της κέντρο. Εάν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το κέντρο βάρους ενός στρογγυλού δίσκου ομοιογενούς δομής, τότε πρώτα βρείτε το σημείο τομής των διαμέτρων του κύκλου. Θα είναι το κέντρο βάρους αυτού του σώματος. Λαμβάνοντας υπόψη μορφές όπως μια μπάλα, ένα στεφάνι και ένα ομοιογενές ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι το κέντρο βάρους του στεφάνου θα βρίσκεται στο κέντρο του σχήματος, αλλά έξω από τα σημεία του, το κέντρο βάρους της μπάλας είναι το γεωμετρικό κέντρο της σφαίρας, και στην τελευταία περίπτωση, το κέντρο βάρους είναι οι διαγώνιες τομής ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου.

Κέντρο βάρους ανομοιογενών σωμάτων

Για να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους, καθώς και το κέντρο βάρους ενός ανομοιογενούς σώματος, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε σε ποιο τμήμα αυτού του σώματος βρίσκεται το σημείο, στο οποίο όλες οι δυνάμεις βάρους που δρουν στο το σχήμα τέμνεται αν αναποδογυριστεί. Στην πράξη, για να βρεθεί ένα τέτοιο σημείο, το σώμα αιωρείται σε μια κλωστή, αλλάζοντας σταδιακά τα σημεία πρόσφυσης του νήματος στο σώμα. Στην περίπτωση που το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία, τότε το κέντρο βάρους του σώματος θα βρίσκεται σε μια γραμμή που συμπίπτει με τη γραμμή του νήματος. Διαφορετικά, η δύναμη της βαρύτητας θέτει το σώμα σε κίνηση.

Πάρτε ένα μολύβι και έναν χάρακα, σχεδιάστε κάθετες γραμμές που συμπίπτουν οπτικά με τις κατευθύνσεις του νήματος (κλωστές στερεωμένες σε διάφορα σημεία του σώματος). Εάν το σχήμα του σώματος είναι αρκετά περίπλοκο, τότε σχεδιάστε πολλές γραμμές που θα τέμνονται σε ένα σημείο. Θα γίνει το κέντρο βάρους για το σώμα στο οποίο κάνατε το πείραμα.

Τρίγωνο κέντρο βάρους

Για να βρείτε το κέντρο βάρους ενός τριγώνου, πρέπει να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο - ένα σχήμα που αποτελείται από τρία τμήματα που συνδέονται μεταξύ τους σε τρία σημεία. Πριν βρείτε το κέντρο βάρους του σχήματος, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν χάρακα για να μετρήσετε το μήκος μιας πλευράς του τριγώνου. Στη μέση της πλευράς, βάλτε ένα σημάδι, μετά το οποίο συνδέστε την αντίθετη κορυφή και τη μέση του τμήματος με μια γραμμή που ονομάζεται διάμεσος. Επαναλάβετε τον ίδιο αλγόριθμο με τη δεύτερη πλευρά του τριγώνου και μετά με την τρίτη. Το αποτέλεσμα της εργασίας σας θα είναι τρεις διάμεσοι που τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο θα είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου.

Εάν αντιμετωπίζετε το καθήκον του πώς να βρείτε το κέντρο βάρους ενός σώματος με τη μορφή ισόπλευρου τριγώνου, τότε πρέπει να σχεδιάσετε ένα ύψος από κάθε κορυφή χρησιμοποιώντας έναν ορθογώνιο χάρακα. Το κέντρο βάρους σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο θα βρίσκεται στην τομή των υψών, των διαμέσου και των διχοτόμων, αφού τα ίδια τμήματα είναι ταυτόχρονα ύψη, διάμεσοι και διχοτόμοι.

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του τριγώνου

Πριν βρούμε το κέντρο βάρους του τριγώνου και τις συντεταγμένες του, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ίδιο το σχήμα. Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνική πλάκα, με κορυφές A, B, C και, κατά συνέπεια, συντεταγμένες: για την κορυφή A - x1 και y1. για την κορυφή B - x2 και y2. για την κορυφή C - x3 και y3. Κατά την εύρεση των συντεταγμένων του κέντρου βάρους, δεν θα λάβουμε υπόψη το πάχος της τριγωνικής πλάκας. Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου υποδεικνύεται με το γράμμα Ε - για να το βρούμε, σχεδιάσαμε τρεις διάμεσους, στην τομή των οποίων βάζουμε το σημείο Ε. Έχει τις δικές του συντεταγμένες: xE και yE.

Το ένα άκρο της διάμεσου που σχεδιάζεται από την κορυφή Α στο τμήμα Β έχει συντεταγμένες x 1, y 1, (αυτό είναι το σημείο Α) και οι δεύτερες συντεταγμένες της διάμεσης τιμής λαμβάνονται με βάση το γεγονός ότι το σημείο D (το δεύτερο άκρο της διάμεσης ) βρίσκεται στο μέσο του τμήματος BC. Τα άκρα αυτού του τμήματος έχουν συντεταγμένες γνωστές σε εμάς: B(x 2 , y 2) και C(x 3 , y 3). Οι συντεταγμένες του σημείου Δ συμβολίζονται με xD και yD . Με βάση τους παρακάτω τύπους:

x=(X1+X2)/2; y=(Y1+Y2)/2

Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος. Παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα:

xd=(X2+X3)/2; yd=(Y2+Y3)/2;

D *((X2+X3)/2, (Y2+Y3)/2).

Γνωρίζουμε ποιες συντεταγμένες είναι χαρακτηριστικές για τα άκρα του τμήματος AD. Γνωρίζουμε επίσης τις συντεταγμένες του σημείου Ε, δηλαδή το κέντρο βάρους της τριγωνικής πλάκας. Γνωρίζουμε επίσης ότι το κέντρο βάρους βρίσκεται στο μέσο του τμήματος AD. Τώρα, χρησιμοποιώντας τύπους και δεδομένα που είναι γνωστά σε εμάς, μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους.

Έτσι, μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους του τριγώνου, ή μάλλον, τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους της τριγωνικής πλάκας, δεδομένου ότι το πάχος του είναι άγνωστο σε εμάς. Είναι ίσα με τον αριθμητικό μέσο όρο των ομοιογενών συντεταγμένων των κορυφών της τριγωνικής πλάκας.